Геометрическая прогрессия задана формулой. Найдите сумму S6.

Решение:

Задана геометрическая прогрессия формулой \( b_n = \frac{5}{2^n} \).

Чтобы найти сумму первых 6 членов прогрессии (\( S_6 \)), сначала определим первый член (\( b_1 \)) и знаменатель прогрессии (\( q \)).

1. Первый член прогрессии при \( n=1 \):
   \( b_1 = \frac{5}{2^1} = \frac{5}{2} \)
2. Знаменатель прогрессии \( q \) можно найти, разделив любой член на предыдущий. Например, найдем \( b_2 \) и разделим его на \( b_1 \):
   \( b_2 = \frac{5}{2^2} = \frac{5}{4} \)
   \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{5/4}{5/2} = \frac{5}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
3. Формула суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии:
   \[ S_n = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} \]
4. Найдем сумму первых 6 членов \( S_6 \):
   \[ S_6 = \frac{5}{2} \frac{1 - (1/2)^6}{1 - 1/2} = \frac{5}{2} \frac{1 - 1/64}{1/2} \]
5. Упростим выражение:
   \[ S_6 = \frac{5}{2} \times 2 \times \left( \frac{64 - 1}{64} \right) = 5 \times \frac{63}{64} = \frac{315}{64} \]

Ответ: S₆ = 315/64.