Решение задач по геометрии для 8 класса

Задача 1: Найти углы равнобедренной трапеции

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Пусть меньший угол равен $$x$$, тогда больший угол равен $$x + 20°$$. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180°.

Составим уравнение: $$x + (x + 20°) = 180°$$

Решим уравнение:

$$2x + 20° = 180°$$

$$2x = 160°$$

$$x = 80°$$

Меньший угол равен 80°, больший угол равен $$80° + 20° = 100°$$.

В равнобедренной трапеции противоположные углы равны.

Ответ: Углы трапеции равны 80°, 80°, 100°, 100°.

Задача 2: Найти боковые стороны равнобедренной трапеции

Дано: равнобедренная трапеция с основаниями 22 см и 10 см, один из углов равен 120°.

Т.к. трапеция равнобедренная, второй угол при этом основании равен 120°. Следовательно, два других угла равны по $$180° - 120° = 60°$$.

Проведём высоты из вершин меньшего основания.

Высоты отсекут от большего основания отрезок, равный меньшему основанию, т.е. 10 см.

Остаётся два равных отрезка по $$(22 - 10) / 2 = 6$$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и отрезком большего основания, равным 6 см. Угол между боковой стороной и этим отрезком равен 60°.

Тогда $$cos(60°) = \frac{6}{x}$$, где $$x$$ - боковая сторона.

$$cos(60°) = \frac{1}{2}$$, следовательно, $$\frac{1}{2} = \frac{6}{x}$$

$$x = 12$$ см.

Ответ: Боковые стороны трапеции равны 12 см.

Задача 3: Найти меньшую боковую сторону прямоугольной трапеции

Дано: прямоугольная трапеция с основаниями 22 см и 10 см, один из углов равен 45°.

В прямоугольной трапеции один из углов прямой (90°). Если один из углов равен 45°, то второй угол при большем основании равен $$90° - 45° = 45°$$.

Меньшая боковая сторона является высотой трапеции.

Проведём высоту из вершины меньшего основания к большему основанию.

Высота отсечёт от большего основания отрезок, равный меньшему основанию, т.е. 10 см.

Остаётся отрезок $$22 - 10 = 12$$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и отрезком большего основания, равным 12 см. Угол между боковой стороной и этим отрезком равен 45°. Так как один угол 45°, то и второй угол равен 45°. Следовательно, это равнобедренный треугольник, значит высота (меньшая боковая сторона) равна 12 см.

Ответ: Меньшая боковая сторона трапеции равна 12 см.