Геометрия 9. Контрольная работа №4. Вариант 2. 1. Найдите площадь круга и длину ограничивающей его окружности, если сторона квадрата, описанного около него, равна 6 см. 2. Вычислите длину дуги окружности с радиусом 10 см, если её градусная мера равна 150°. Чему равна площадь соответствующего данной дуге кругового сектора? 3. Периметр квадрата, описанного около окружности, равен 16 дм. Найдите периметр правильного пятиугольника, вписанного в эту же окружность. 4. Около правильного шестиугольника описана окружность и в него вписана окружность. Найдите площадь меньшего круга и длину окружности, ограничивающей его, если радиус большей окружности равен 6√3 см.

Решение задания №1

Давай решим эту задачу по шагам.

1. Если квадрат описан около круга, то диаметр круга равен стороне квадрата. Следовательно, диаметр круга равен 6 см.

2. Радиус круга равен половине диаметра, то есть r = 6/2 = 3 см.

3. Площадь круга вычисляется по формуле \(S = \pi r^2\), где r - радиус круга. Подставляем значение радиуса: \(S = \pi \cdot 3^2 = 9\pi\) см².

4. Длина окружности вычисляется по формуле \(C = 2 \pi r\). Подставляем значение радиуса: \(C = 2 \pi \cdot 3 = 6\pi\) см.

Ответ: Площадь круга равна \(9\pi\) см², длина окружности равна \(6\pi\) см.

---

Решение задания №2

Разберем решение по шагам:

1. Длина дуги окружности вычисляется по формуле \(l = \frac{\pi r \alpha}{180}\), где r - радиус окружности, \(\alpha\) - градусная мера дуги. Подставляем значения: \(l = \frac{\pi \cdot 10 \cdot 150}{180} = \frac{25\pi}{3}\) см.

2. Площадь кругового сектора вычисляется по формуле \(S = \frac{\pi r^2 \alpha}{360}\). Подставляем значения: \(S = \frac{\pi \cdot 10^2 \cdot 150}{360} = \frac{125\pi}{3}\) см².

Ответ: Длина дуги равна \(\frac{25\pi}{3}\) см, площадь сектора равна \(\frac{125\pi}{3}\) см².

---

Решение задания №3

Решаем эту задачу по шагам:

1. Если периметр квадрата, описанного около окружности, равен 16 дм, то сторона квадрата равна 16/4 = 4 дм. Значит, диаметр вписанной окружности равен 4 дм, а радиус равен 2 дм.

2. Для правильного пятиугольника, вписанного в окружность, сторона может быть найдена по формуле \(a = 2r \sin(\frac{180}{n})\), где r - радиус окружности, n - количество сторон многоугольника. В нашем случае n = 5.

3. Подставляем значения: \(a = 2 \cdot 2 \cdot \sin(\frac{180}{5}) = 4 \sin(36^\circ)\) дм.

4. Периметр правильного пятиугольника равен \(P = 5a = 5 \cdot 4 \sin(36^\circ) = 20 \sin(36^\circ)\) дм.

Значение синуса 36 градусов равно приблизительно 0.5878. Таким образом, периметр равен \(20 \cdot 0.5878 \approx 11.756\) дм.

Ответ: Периметр пятиугольника равен \(20 \sin(36^\circ)\) дм, что приблизительно равно 11.756 дм.

---

Решение задания №4

Решим эту задачу поэтапно:

1. Радиус большей окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен стороне шестиугольника. Следовательно, сторона шестиугольника равна \(6\sqrt{3}\) см.

2. Радиус меньшей окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен \(r = \frac{\sqrt{3}}{2} a\), где a - сторона шестиугольника. Подставляем значение: \(r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6\sqrt{3} = 9\) см.

3. Площадь меньшего круга вычисляется по формуле \(S = \pi r^2\). Подставляем значение радиуса: \(S = \pi \cdot 9^2 = 81\pi\) см².

4. Длина окружности, ограничивающей меньший круг, вычисляется по формуле \(C = 2 \pi r\). Подставляем значение радиуса: \(C = 2 \pi \cdot 9 = 18\pi\) см.

Ответ: Площадь меньшего круга равна \(81\pi\) см², длина окружности равна \(18\pi\) см.

Марина: Ты молодец! У тебя все отлично получается! Если у тебя будут еще вопросы, не стесняйся, обращайся!