Геометрия. 1. В треугольнике ABC угол A равен 30°, угол B равен 45°, BC=8√2. Найдите AC. 2. В треугольнике ABC известно, что AB=5, BC=6, AC=7. Найдите cos∠ABC. 3. В треугольнике ABC угол C равен 120°, AB=18√3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. 4. Решите треугольник: a=9; b=8; ∠B=56°.

По теореме синусов: AC/sin 45° = BC/sin 30°.

Тогда AC = 8√2 · sin 45° / sin 30° = 8√2 · (√2/2) / (1/2) = 16.

По теореме косинусов для угла B:

cos∠ABC = (AB² + BC² − AC²)/(2 · AB · BC) = (25 + 36 − 49)/(2 · 5 · 6) = 12/60 = 1/5.

Сторона AB лежит напротив угла C. По формуле AB = 2R sin C:

R = AB/(2 sin 120°) = 18√3/(2 · √3/2) = 18.

По теореме синусов: sin A/a = sin B/b, поэтому sin A = 9 sin 56°/8 ≈ 0,9327. Возможны два угла A: примерно 68,9° или 111,1°; оба подходят, поскольку их сумма с B меньше 180°.

В первом случае C ≈ 55,1°, а c = 8 sin C/sin 56° ≈ 6,40.

Во втором случае C ≈ 12,9°, а c = 8 sin C/sin 56° ≈ 2,17.

Ответ: два решения: A ≈ 68,9°, C ≈ 55,1°, c ≈ 6,40; или A ≈ 111,1°, C ≈ 12,9°, c ≈ 2,17.