Геометрия на 27.01 (Вт): Карточка прикреплена. Решить 2 задачи. Сделать чертеж в тетради и оформить решение

Рассмотрим задачи по геометрии.

Задача 11

Дано: треугольник PQR, в котором угол R = 120°, RS - высота, PR = RQ. Найти: PQ.

Решение:

Так как PR = RQ, то треугольник PQR - равнобедренный, следовательно, углы при основании равны. Сумма углов треугольника равна 180°.

Угол P = углу Q = (180° - 120°) / 2 = 60° / 2 = 30°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник PSR. В нем угол PSR = 90°, угол P = 30°, PS = 7.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, следовательно, PR = 2 * PS = 2 * 7 = 14.

Так как PR = RQ, то RQ = 14.

По теореме косинусов найдем PQ.

$$PQ^2 = PR^2 + RQ^2 - 2 * PR * RQ * cos(∠R)$$ $$PQ^2 = 14^2 + 14^2 - 2 * 14 * 14 * cos(120°)$$ $$PQ^2 = 196 + 196 - 2 * 196 * (-0.5)$$ $$PQ^2 = 392 + 196 = 588$$ $$PQ = \sqrt{588} = \sqrt{4 * 147} = 2\sqrt{147} = 2\sqrt{3 * 49} = 2 * 7\sqrt{3} = 14\sqrt{3}$$

Ответ: $$PQ = 14\sqrt{3}$$

Задача 12

Дано: треугольник ABC, CD - высота, AD = 19.6, BD = 9.8. Найти: углы A, B, ACB.

Решение:

Треугольник ADC - прямоугольный, треугольник CDB - прямоугольный.

tg A = CD / AD

tg B = CD / BD

AD = 2BD, следовательно, tg A = 0.5 tg B

Пусть угол B = x, тогда угол A = arctg(0.5 tg x)

В прямоугольном треугольнике CDB: tg B = CD / 9.8, CD = 9.8 tg B.

В прямоугольном треугольнике ADC: tg A = CD / 19.6, CD = 19.6 tg A.

9.8 tg B = 19.6 tg A

tg B = 2 tg A

Пусть tg A = x, тогда tg B = 2x.

Сумма углов в треугольнике 180°. Угол C = 180° - угол A - угол B.

Угол ACB = 180° - arctg x - arctg 2x

Решение:

Так как CD - высота, то треугольники ADC и BDC являются прямоугольными.

В треугольнике BDC:

$$tg B = \frac{CD}{BD}$$.

В треугольнике ADC:

$$tg A = \frac{CD}{AD}$$.

Выразим CD через известные стороны и тангенсы углов A и B:

$$CD = BD \cdot tg B = 9.8 \cdot tg B$$

$$CD = AD \cdot tg A = 19.6 \cdot tg A$$

Получаем уравнение:

$$9.8 \cdot tg B = 19.6 \cdot tg A$$

$$tg B = 2 \cdot tg A$$

Пусть $$tg A = x$$, тогда $$tg B = 2x$$.

Известно, что

$$AD = 19.6$$ $$BD = 9.8$$ $$tg A = CD/AD$$ $$tg B = CD/BD$$ $$CD = AD * tg A = BD * tg B$$ $$19.6 * tg A = 9.8 * tg B$$ $$tg B = 2*tg A$$

Сумма углов в треугольнике: A + B + C = 180

Угол С = 180 - A - B

Угол ACB = 90 + arctgA + arctgB

В прямоугольном треугольнике ADC

$$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2}$$ $$AC = \sqrt{19.6^2 + CD^2}$$

В прямоугольном треугольнике BDC

$$BC = \sqrt{BD^2 + CD^2}$$ $$BC = \sqrt{9.8^2 + CD^2}$$

Ответ: углы А, В, АСВ - ?