188 « Геометрия. Задачи на готовых чертеж ПЛОЩАДЬ Найдите площадь заштрихованной фи 1 5 5 5 2 3 4

1

Площадь заштрихованной фигуры равна площади сектора круга.

Площадь сектора круга вычисляется по формуле: \[S = \frac{\pi r^2 \alpha}{360}\], где r - радиус круга, \(\alpha\) - центральный угол, опирающийся на дугу сектора.

В данном случае радиус r = 12, угол \(\alpha = 90^\circ\) (так как угол прямой).

Тогда площадь равна: \[S = \frac{\pi \cdot 12^2 \cdot 90}{360} = \frac{\pi \cdot 144 \cdot 90}{360} = \frac{\pi \cdot 144}{4} = 36\pi\]

Ответ: \(36\pi\)

2

Площадь заштрихованной фигуры равна площади сектора круга.

Площадь сектора круга вычисляется по формуле: \[S = \frac{\pi r^2 \alpha}{360}\], где r - радиус круга, \(\alpha\) - центральный угол, опирающийся на дугу сектора.

В данном случае радиус r = 20, нужно найти угол \(\alpha\).

Так как MN = 12, то синус угла \(\frac{\alpha}{2}\) равен \(\frac{MN/2}{OM} = \frac{6}{20} = 0.3\)

Следовательно, \(\frac{\alpha}{2} = arcsin(0.3)\) и \(\alpha = 2 \cdot arcsin(0.3)\).

Тогда площадь равна: \[S = \frac{\pi \cdot 20^2 \cdot 2 arcsin(0.3)}{360} = \frac{\pi \cdot 400 \cdot 2 arcsin(0.3)}{360} = \frac{20\pi \cdot arcsin(0.3)}{9}\]

Ответ: \(\frac{20\pi \cdot arcsin(0.3)}{9}\)

3

Площадь заштрихованной фигуры равна площади сектора круга.

Площадь сектора круга вычисляется по формуле: \[S = \frac{\pi r^2 \alpha}{360}\], где r - радиус круга, \(\alpha\) - центральный угол, опирающийся на дугу сектора.

В данном случае радиус r = 10, угол \(\alpha = 60^\circ\).

Тогда площадь равна: \[S = \frac{\pi \cdot 10^2 \cdot 60}{360} = \frac{\pi \cdot 100 \cdot 60}{360} = \frac{\pi \cdot 100}{6} = \frac{50\pi}{3}\]

Ответ: \(\frac{50\pi}{3}\)

4

Площадь заштрихованной фигуры равна площади сегмента круга.

Площадь сегмента круга вычисляется по формуле: \[S = \frac{r^2}{2}(\frac{\pi \alpha}{180} - sin \alpha)\], где r - радиус круга, \(\alpha\) - центральный угол, опирающийся на дугу сектора.

В данном случае нужно найти радиус. OK = 3, KF = 13, тогда OF = OK + KF = 3 + 13 = 16.

Так как EF - диаметр круга, то угол \(\angle EKF = 90^\circ\). Тогда \(\triangle EKF\) прямоугольный, и по теореме Пифагора: \[EF^2 = EK^2 + KF^2\]

Также, EK = 2r - KF = 2r - 13. Тогда \[4r^2 = (2r - 13)^2 + 13^2\]

Раскрываем скобки: \[4r^2 = 4r^2 - 52r + 169 + 169\]

Упрощаем: \[52r = 338\]

Находим r: \[r = \frac{338}{52} = \frac{169}{26} = \frac{13}{2} = 6.5\]

Радиус равен 6.5. Так как \(\angle EKF = 90^\circ\), то \(\alpha = 180^\circ\).

Тогда площадь равна: \[S = \frac{6.5^2}{2}(\frac{\pi \cdot 180}{180} - sin 180) = \frac{42.25}{2}(\pi - 0) = \frac{42.25\pi}{2} = 21.125\pi\]

Ответ: \(21.125\pi\)