Геометрия. Записать уравнение окружности с центром O(-2; 7) и радиусом 4. Написать уравнение окружности с диаметром AB, если A(3; 9) и B(7; 3). Написать уравнение прямой, проходящей через точки P(3; −1) и K(4; −5).

1. Окружность с центром O(−2; 7) и радиусом 4.

Уравнение окружности с центром \((a; b)\) и радиусом \(r\): \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).

Подставляем данные: \((x+2)^2+(y-7)^2=16\).

2. Окружность с диаметром AB.

Центр окружности — середина диаметра:

\(x_O=\frac{3+7}{2}=5,\quad y_O=\frac{9+3}{2}=6\).

Квадрат радиуса равен четверти квадрата длины AB:

\(r^2=\frac{(7-3)^2+(3-9)^2}{4}=\frac{16+36}{4}=13\).

Значит, уравнение окружности: \((x-5)^2+(y-6)^2=13\).

3. Прямая через P(3; −1) и K(4; −5).

Угловой коэффициент: \(k=\frac{-5-(-1)}{4-3}=-4\).

Подставляем точку P в уравнение \(y=kx+b\): \(-1=-4\cdot3+b\), откуда \(b=11\).

Уравнение прямой: \(y=-4x+11\).

Ответ: \((x+2)^2+(y-7)^2=16\); \((x-5)^2+(y-6)^2=13\); \(y=-4x+11\).