7. Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника АВС равна с. Через середину М его катета АС провели прямую, которая делит гипотенузу в отношении 1:3 считая от вершины А. Найдите отрезок данной прямой, заключённый внутри треугольника.

Обозначим точку пересечения проведенной прямой и гипотенузы за K. Тогда AK : KB = 1 : 3.

Пусть AK = x, тогда KB = 3x, а вся гипотенуза AB = AK + KB = x + 3x = 4x. По условию, AB = c, следовательно, 4x = c, и x = c/4.

AK = c/4, KB = 3c/4.

Проведем прямую MN параллельно катету BC (N лежит на AB). MN - средняя линия треугольника ABC, так как M - середина AC. Следовательно, MN = BC/2.

Треугольники AKM и ABC подобны по двум углам (угол A - общий, угол AKM = углу ABC как соответственные при параллельных MK и BC). Из подобия следует, что AK/AB = AM/AC = KM/BC.

$$ \frac{AK}{AB} = \frac{\frac{c}{4}}{c} = \frac{1}{4}$$.

$$ \frac{AM}{AC} = \frac{1}{2}$$, так как AM = MC по условию.

Тогда KM/BC = 1/4, следовательно, KM = BC/4.

Поскольку MN = BC/2, то искомый отрезок MK = KM = BC/4, а MN = BC/2. Отрезок KN = MN - MK = BC/2 - BC/4 = BC/4.

Искомый отрезок KM = BC/4.

Рассмотрим треугольник ABC. По теореме Пифагора, $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$, следовательно, $$c^2 = (2AM)^2 + BC^2$$.

$$BC^2 = c^2 - 4AM^2$$, $$BC = \sqrt{c^2 - 4AM^2}$$.

Таким образом, KM = $$\frac{\sqrt{c^2 - 4AM^2}}{4}$$.

Искомый отрезок KM = $$\frac{1}{4} \sqrt{c^2 - (2 \cdot \frac{1}{2}AC)^2}$$.

Упростим:

$$KM = \frac{\sqrt{c^2 - AC^2}}{4}$$.

Но так как $$\sqrt{c^2 - AC^2} = BC$$

$$KM = \frac{BC}{4}$$.

Так как $$\frac{AM}{AC} = \frac{AK}{AB} = \frac{KM}{BC}$$ то KM/BC = 1/4.

Ответ: BC/4