Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Если один из его катетов увеличить на 4 см, то гипотенуза увеличится на 2 см. Найдите катеты треугольника.

Для решения задачи обозначим катеты треугольника через \(a\) и \(b\). По теореме Пифагора имеем: \(a^2 + b^2 = 13^2\). Если один из катетов (пусть \(a\)) увеличить на 4 см, то гипотенуза становится равной 15 см, и по теореме Пифагора для нового треугольника: \((a+4)^2 + b^2 = 15^2\). Система уравнений: \[\begin{cases} a^2 + b^2 = 169 \\ (a+4)^2 + b^2 = 225 \end{cases}\] Подставим из первого уравнения \(b^2\) во второе: \((a+4)^2 + (169 - a^2) = 225\). Раскроем скобки и упростим: \(a^2 + 8a + 16 + 169 - a^2 = 225\), \(8a + 185 = 225\), \(8a = 40\), \(a = 5\). Подставим \(a = 5\) в первое уравнение: \(5^2 + b^2 = 169\), \(25 + b^2 = 169\), \(b^2 = 144\), \(b = 12\). Итак, катеты треугольника равны \(5\) см и \(12\) см.