Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, радиус вписанной в этот треугольник окружности 2 см. Найдите периметр треугольника и его площадь.

Решение:

Пусть \(a\) и \(b\) — катеты прямоугольного треугольника, \(c\) — гипотенуза, \(r\) — радиус вписанной окружности, \(S\) — площадь, \(P\) — периметр.

Известно, что \(c = 10\) см и \(r = 2\) см.

Формула для радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике:

\( r = \frac{a+b-c}{2} \)

Подставим известные значения:

\( 2 = \frac{a+b-10}{2} \)

\( 4 = a+b-10 \)

\( a+b = 14 \) см.

Периметр треугольника:

\( P = a+b+c = 14 + 10 = 24 \) см.

Площадь прямоугольного треугольника:

\( S = \frac{1}{2}ab \)

Для нахождения \(ab\) используем теорему Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \).

Возведём в квадрат сумму катетов: \( (a+b)^2 = 14^2 \)

\( a^2 + 2ab + b^2 = 196 \)

Подставим \( a^2 + b^2 = c^2 = 10^2 = 100 \):

\( 100 + 2ab = 196 \)

\( 2ab = 196 - 100 \)

\( 2ab = 96 \)

\( ab = 48 \) см².

Теперь найдём площадь:

\( S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 48 = 24 \) см².

Ответ: Периметр треугольника равен 24 см, площадь треугольника равна 24 см².