Given $$\angle MCB_1 = ?$$

Решение:

В данном треугольнике \( \triangle ABC \) известны некоторые углы и точки. \( M \) — точка пересечения биссектрис углов \( \angle A \) и \( \angle B \). \( A_1 \) и \( B_1 \) — точки на сторонах \( AC \) и \( BC \) соответственно.

Нам дан угол \( \angle AMB = 128^{\circ} \). \( BM \) является биссектрисой \( \angle B \), а \( AM \) — биссектрисой \( \angle A \). Следовательно, \( \angle ABM = \angle MBC \) и \( \angle BAM = \angle MAC \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle AMB \). Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle MAB + \angle MBA + \angle AMB = 180^{\circ} \)

\( \angle MAB + \angle MBA + 128^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle MAB + \angle MBA = 180^{\circ} - 128^{\circ} = 52^{\circ} \)

Так как \( AM \) и \( BM \) — биссектрисы, то:

\( \angle BAM = \angle MAC \) и \( \angle ABM = \angle MBC \).

Следовательно, \( \angle A = 2 \cdot \angle MAB \) и \( \angle B = 2 \cdot \angle MBA \).

Сумма этих углов в \( \triangle ABC \) равна:

\( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \)

\( 2 \cdot \angle MAB + 2 \cdot \angle MBA + \angle C = 180^{\circ} \)

\( 2 (\angle MAB + \angle MBA) + \angle C = 180^{\circ} \)

Мы знаем, что \( \angle MAB + \angle MBA = 52^{\circ} \). Подставим это значение:

\( 2 (52^{\circ}) + \angle C = 180^{\circ} \)

\( 104^{\circ} + \angle C = 180^{\circ} \)

\( \angle C = 180^{\circ} - 104^{\circ} = 76^{\circ} \)

Теперь вернемся к \( \triangle AMB \). Мы нашли, что \( \angle MAB + \angle MBA = 52^{\circ} \).

Нас просят найти \( \angle MCB_1 \). По условию \( B_1 \) — точка на стороне \( BC \). Также \( M \) является точкой пересечения биссектрис. \( CM \) должна быть биссектрисой \( \angle C \).

Если \( CM \) — биссектриса \( \angle C \), то \( \angle MCB = \frac{\angle C}{2} \).

\( \angle MCB = \frac{76^{\circ}}{2} = 38^{\circ} \).

Так как \( B_1 \) лежит на \( BC \), то \( \angle MCB_1 = \angle MCB \).

Ответ: $$\angle MCB_1 = 38^{\circ}$$.