Given $$\angle OAK = 30^°$$ and the length of the tangent segment $$AK = 8.1\sqrt{3}$$ dm. Find the circumference of the circle $$C$$. If necessary, round the answer to the nearest hundredth.

Для решения этой задачи нам нужно найти радиус окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle OAK$$. Мы знаем, что $$OK$$ — это радиус окружности, проведенный в точку касания $$K$$, поэтому $$OK \perp AK$$. Следовательно, $$\triangle OAK$$ — прямоугольный треугольник с прямым углом в точке $$K$$.

В этом треугольнике нам дан угол $$\angle OAK = 30^°$$ и противолежащий катет $$OK$$, а также прилежащий катет $$AK = 8.1\sqrt{3}$$ дм.

Мы можем использовать тангенс угла:

• \[ \tan(\angle OAK) = \frac{OK}{AK} \]
• \[ \tan(30^°) = \frac{OK}{8.1\sqrt{3}} \]

Значение $$\tan(30^°)$$ равно $$\frac{1}{\sqrt{3}}$$ или $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$.

• \[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{OK}{8.1\sqrt{3}} \]

Теперь выразим $$OK$$:

• \[ OK = \frac{1}{\sqrt{3}} \times 8.1\sqrt{3} \]
• \[ OK = 8.1 \text{ дм} \]

Итак, радиус окружности $$R = OK = 8.1$$ дм.

Теперь найдем длину окружности по формуле $$C = 2 \pi R$$.

• \[ C = 2 \pi (8.1) \]
• \[ C = 16.2 \pi \text{ дм} \]

Если нужно округлить до сотых, то $$16.2 \times 3.14159... \approx 50.8938...$$

Округляем до сотых:

• \[ C \approx 50.89 \text{ дм} \]

Ответ: 16.2 \(\pi\) дм.