Г-7 Контрольная работа по теме «Треугольники» Вариант 1 1. Докажите равенство треугольников ABF и CBD (рис. 42), если АВ = ВС и BF = BD. 2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 39 см, а основание на 3 см меньше боковой стороны. 3. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отметили соответственно точки D и Е так, что LACD=LCAE. Докажите, что AD = CE. 4. Треугольник АВС прямоугольный, с гипотенузой АВ. Внешний угол при вершине В равен 150 градусов, Какая сторона будет самой маленькой и найдите ее длину, если гипотенуза равна 28см.

Рассмотрим каждое задание отдельно.

1. Докажите равенство треугольников ABF и CBD (рис. 42), если АВ = ВС и BF = BD.

Для доказательства равенства треугольников ABF и CBD, рассмотрим данные условия:

• AB = BC (дано)
• BF = BD (дано)
• ∠ABF = ∠CBD (как вертикальные углы)

По двум сторонам и углу между ними, треугольники ABF и CBD равны (первый признак равенства треугольников).

Ответ: Треугольники ABF и CBD равны по первому признаку равенства треугольников.

2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 39 см, а основание на 3 см меньше боковой стороны.

Пусть x - длина боковой стороны треугольника. Тогда длина основания будет x - 3.

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон: x + x + (x - 3) = 39

Решаем уравнение:

3x - 3 = 39

3x = 42

x = 14

Длина боковой стороны равна 14 см.

Длина основания равна 14 - 3 = 11 см.

Ответ: Боковые стороны равны 14 см, основание равно 11 см.

3. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отметили соответственно точки D и Е так, что ∠ACD=∠CAE. Докажите, что AD = CE.

Рассмотрим треугольники ADC и CEA:

• AC - общая сторона
• ∠ACD = ∠CAE (дано)
• ∠A = ∠C (углы при основании равнобедренного треугольника ABC)

Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, и ∠ACD = ∠CAE, то ∠DAC = ∠ECA.

Треугольники ADC и CEA равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

Следовательно, AD = CE как соответствующие стороны равных треугольников.

Ответ: AD = CE (доказано).

4. Треугольник АВС прямоугольный, с гипотенузой АВ. Внешний угол при вершине В равен 150 градусов, Какая сторона будет самой маленькой и найдите ее длину, если гипотенуза равна 28см.

Внешний угол при вершине B равен 150 градусов, следовательно, внутренний угол при вершине B равен 180 - 150 = 30 градусов.

Так как треугольник ABC прямоугольный, то угол C равен 90 градусов.

Тогда угол A равен 180 - 90 - 30 = 60 градусов.

В прямоугольном треугольнике против меньшего угла лежит меньшая сторона. Угол B меньше угла A, следовательно, сторона AC будет самой маленькой.

Сторона, лежащая против угла в 30 градусов, равна половине гипотенузы.

AC = 1/2 * AB = 1/2 * 28 = 14 см.

Ответ: Самая маленькая сторона AC = 14 см.