В данном предложении нужно использовать вспомогательный глагол 'Do' или 'Does' для образования вопроса в Present Simple.
Так как подлежащее 'the author' (автор) стоит в 3-м лице единственного числа, используется 'Does'.
Do/Does + Подлежащее + Глагол в инфинитиве + ...?
Следовательно, правильный вопрос:
Does the author got a dog?