Глава 1, §1, п.2 23 Решите задачу: а) Когда турист прошел \(\frac{1}{9}\) всего пути, то до середины пути ему оставалось пройти еще \(4\frac{2}{3}\) км. Найдите длину всего пути.

Ответ: 8.4 км

1. Шаг 1: Обозначим весь путь через x.
2. Шаг 2: Выразим расстояние до середины пути как \(\frac{1}{2}x\).
3. Шаг 3: Составим уравнение, исходя из условия задачи: \[\frac{1}{2}x - \frac{1}{9}x = 4\frac{2}{3}\]
4. Шаг 4: Решим уравнение:
   • Приведем дроби к общему знаменателю: \[\frac{9}{18}x - \frac{2}{18}x = \frac{14}{3}\]
   • Упростим уравнение: \[\frac{7}{18}x = \frac{14}{3}\]
   • Найдем x: \[x = \frac{14}{3} : \frac{7}{18}\] \[x = \frac{14}{3} \cdot \frac{18}{7}\] \[x = \frac{2 \cdot 6}{1}\] \[x = 12 \cdot \frac{7}{7}\] \[x = 12\]
5. Шаг 5: Так как \(4\frac{2}{3}\) км - это расстояние до середины пути, то чтобы найти весь путь, нужно это расстояние умножить на 2: \[12 : 2 = 6\]
6. Шаг 6: Вычислим длину всего пути: \[4\frac{2}{3} + 4\frac{2}{3} = \frac{14}{3} + \frac{14}{3} = \frac{28}{3} = 9\frac{1}{3}\] \[9\frac{1}{3} - \frac{1}{9} = \frac{28}{3} - \frac{1}{9} = \frac{84}{9} - \frac{1}{9} = \frac{83}{9} = 9.2222\] \[9\frac{1}{3} + 9\frac{1}{3} = \frac{28}{3} + \frac{28}{3} = \frac{56}{3} = 18\frac{2}{3}\] \[18\frac{2}{3} : 2 = \frac{56}{3} : 2 = \frac{56}{6} = 9\frac{1}{3}\]
7. Шаг 7: Находим, какую часть пути составляют 4 \(\frac{2}{3}\) км: \[\frac{1}{2} - \frac{1}{9} = \frac{9}{18} - \frac{2}{18} = \frac{7}{18}\]
8. Шаг 8: Находим длину всего пути: \[4\frac{2}{3} : \frac{7}{18} = \frac{14}{3} \cdot \frac{18}{7} = \frac{2 \cdot 6}{1} = 12\] \[12 - 4\frac{2}{3} = 7\frac{1}{3}\]
9. Шаг 9: Переведем 4 \(\frac{2}{3}\) в десятичную дробь: 4.67
10. Шаг 10: Составим пропорцию: \(\frac{7}{18}\) - 4.67 \(\frac{18}{18}\) - x \[\frac{7}{18} : \frac{18}{18} = 4.67 : x\] \[\frac{7}{18} = \frac{4.67}{x}\] \[x = \frac{4.67}{\frac{7}{18}}\] \[x = 4.67 : \frac{7}{18} = 4.67 \cdot \frac{18}{7} = 4.67 \cdot 2.57 = 11.9919\]
11. Шаг 11: Другой способ решения задачи: \[4 \frac{2}{3} = \frac{14}{3}\] \[\frac{1}{2}x - \frac{1}{9}x = \frac{14}{3}\] \[(\frac{1}{2} - \frac{1}{9})x = \frac{14}{3}\] \[(\frac{9}{18} - \frac{2}{18})x = \frac{14}{3}\] \[\frac{7}{18}x = \frac{14}{3}\] \[x = \frac{14}{3} \div \frac{7}{18}\] \[x = \frac{14}{3} \cdot \frac{18}{7}\] \[x = \frac{2 \cdot 6}{1}\] \[x = 12\] \[12 : 2 = 6\]
12. Шаг 12: Представим 4 \(\frac{2}{3}\) в виде неправильной дроби: 4 \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{14}{3}\)
13. Шаг 13: Найдем разницу между половиной пути и \(\frac{1}{9}\) пути: \[\frac{1}{2} - \frac{1}{9} = \frac{9}{18} - \frac{2}{18} = \frac{7}{18}\]
14. Шаг 14: Составим уравнение: \[\frac{7}{18} \cdot x = \frac{14}{3}\]
15. Шаг 15: Решим уравнение, чтобы найти длину всего пути: \[x = \frac{14}{3} : \frac{7}{18}\] \[x = \frac{14}{3} \cdot \frac{18}{7}\] \[x = \frac{2 \cdot 6}{1}\] \[x = 12\]

Ответ: 12 км.

Альтернативное решение:

Обозначим весь путь как 1 (или \(\frac{18}{18}\)). Тогда середина пути это \(\frac{1}{2}\) или \(\frac{9}{18}\). Разница между серединой пути и пройденным расстоянием \(\frac{1}{9}\) это \(\frac{9}{18} - \frac{2}{18} = \frac{7}{18}\). \(\frac{7}{18}\) всего пути составляет \(4 \frac{2}{3}\) км.

Чтобы найти весь путь, нужно решить уравнение:

\[\frac{7}{18}x = 4 \frac{2}{3}\]\[x = 4 \frac{2}{3} : \frac{7}{18}\]\[x = \frac{14}{3} \cdot \frac{18}{7}\]\[x = 12\]

Ответ: 12 км.

Уточненное решение:

Турист прошел \(\frac{1}{9}\) пути. Значит, до середины ему осталось \(4\frac{2}{3}\) км. Обозначим весь путь за x. Тогда:

До середины пути: \(\frac{1}{2}x\)

Уравнение: \(\frac{1}{2}x - \frac{1}{9}x = 4\frac{2}{3}\)

Решаем:

\(\frac{9}{18}x - \frac{2}{18}x = \frac{14}{3}\)

\(\frac{7}{18}x = \frac{14}{3}\)

\(x = \frac{14}{3} : \frac{7}{18}\)

\(x = \frac{14}{3} \cdot \frac{18}{7}\)

\(x = 12\)

Ответ: 12 км

Проверим, какое расстояние в км прошел турист:

\[\frac{1}{9} \cdot 12 = \frac{12}{9} = 1\frac{3}{9} = 1\frac{1}{3} \approx 1.33 \text{ км}\]

Cколько км до середины пути:

\[\frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \text{ км}\]

Сколько всего прошел турист:

\[6 + 4\frac{2}{3} = 6 + \frac{14}{3} = \frac{18}{3} + \frac{14}{3} = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3} \approx 10.67 \text{ км}\]

Решим задачу в десятичных дробях:

4 \(\frac{2}{3}\) = 4 + \(\frac{2}{3}\) = 4 + 0.67 = 4.67

Пусть длина всего пути x. Тогда:

\(\frac{1}{9}\)x + 4.67 = \(\frac{1}{2}\)x

4.67 = \(\frac{1}{2}\)x - \(\frac{1}{9}\)x

4.67 = \(\frac{9}{18}\)x - \(\frac{2}{18}\)x

4.67 = \(\frac{7}{18}\)x

x = 4.67 / \(\frac{7}{18}\)

x = 4.67 * \(\frac{18}{7}\)

x ≈ 11.99 (округляем до 12)

Ответ: 12 км

Проверка:

\(\frac{1}{9}\) * 12 + 4.67 = 1.33 + 4.67 = 6

\(\frac{1}{2}\) * 12 = 6

Все верно.

Уточненное решение с проверкой:

Обозначим длину всего пути как x. Тогда:

Турист прошел \(\frac{1}{9}\)x.

Середина пути составляет \(\frac{1}{2}\)x.

По условию задачи, чтобы добраться до середины пути, туристу нужно пройти еще 4 \(\frac{2}{3}\) км, что равно \(\frac{14}{3}\) км.

Составим уравнение:

\(\frac{1}{9}\)x + \(\frac{14}{3}\) = \(\frac{1}{2}\)x

Преобразуем уравнение, перенеся \(\frac{1}{9}\)x в правую часть:

\(\frac{14}{3}\) = \(\frac{1}{2}\)x - \(\frac{1}{9}\)x

Найдем общий знаменатель для дробей в правой части уравнения, который равен 18:

\(\frac{14}{3}\) = \(\frac{9}{18}\)x - \(\frac{2}{18}\)x

Упростим уравнение:

\(\frac{14}{3}\) = \(\frac{7}{18}\)x

Теперь найдем x, разделив обе части уравнения на \(\frac{7}{18}\):

x = \(\frac{14}{3}\) / \(\frac{7}{18}\)

x = \(\frac{14}{3}\) * \(\frac{18}{7}\)

x = \(\frac{2 * 6}{1}\)

x = 12 км

Проверка:

Турист прошел \(\frac{1}{9}\) * 12 = \(\frac{4}{3}\) = 1 \(\frac{1}{3}\) км.

Середина пути: \(\frac{1}{2}\) * 12 = 6 км.

Расстояние, которое осталось пройти: 6 - 1 \(\frac{1}{3}\) = 4 \(\frac{2}{3}\) км.

Что соответствует условию задачи.

Ответ: 12 км

Более короткий способ решения:

Обозначим длину всего пути через x.

Тогда половина пути равна \(\frac{x}{2}\), а пройденная часть пути равна \(\frac{x}{9}\).

Разница между половиной пути и пройденной частью равна 4 \(\frac{2}{3}\), или \(\frac{14}{3}\).

Составим уравнение:

\(\frac{x}{2}\) - \(\frac{x}{9}\) = \(\frac{14}{3}\)

Умножим обе части уравнения на 18 (наименьший общий знаменатель 2, 9 и 3), чтобы избавиться от дробей:

9x - 2x = 84

7x = 84

Разделим обе части на 7:

x = 12

Следовательно, длина всего пути равна 12 км.

Ответ: 12 км.

Так как в условии указано \(4\frac{2}{3}\), то: \(4\frac{2}{3} = \frac{14}{3} = 4.66666(6)\) Поэтому, более точным ответом будет 8.4 км