208 Глава 7 734 Подберите такое к, чтобы трёхчлен был равен к члена: a) a² - 2a + k; б) x² + 6x + k; в) м² + km + 16; г) y² + ky + 25; д) к - 6 e) k +8 √735 Упростите выражение: a) (x + 4)² - 7x; б) (с - 1)² - (1 - 2c); в) (x - y)² + x(y - x); г) (a + b)² - 2b(a - b); д) 9m² - (п-3m)²; e) (a² + b²) - (a – b)²; ж) 2(5 - 2) + (z - 5)²; 3) Зи(и + 2) - (u + 3)². 736 Преобразуйте в многочлен: a) 2(a - 3)²; б) 3(x + y)²; в) -5(1 - 2c)²; г) -4(3m + n)²; д) 0,1(а + e) -(2u 737 Решите уравнение: a) (x + 3)² - x² 233 = 33; б) x2 (x - 5)² = 10: в) (x + 12)² = x(x - г) (x - 3x + 1)

734

Задание: Подберите такое k, чтобы трёхчлен был полным квадратом.

• a) \( a^2 - 2a + k \)

Чтобы трехчлен был полным квадратом, нужно, чтобы \( k = 1 \), так как \( (a - 1)^2 = a^2 - 2a + 1 \).

• б) \( x^2 + 6x + k \)

Чтобы трехчлен был полным квадратом, нужно, чтобы \( k = 9 \), так как \( (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 \).

• в) \( m^2 + km + 16 \)

Чтобы трехчлен был полным квадратом, нужно, чтобы \( k = 8 \), так как \( (m + 4)^2 = m^2 + 8m + 16 \).

• г) \( y^2 + ky + 25 \)

Чтобы трехчлен был полным квадратом, нужно, чтобы \( k = 10 \), так как \( (y + 5)^2 = y^2 + 10y + 25 \).

• д) \( k - 6 \)
• e) \( k + 8 \)

Не являются трехчленами, поэтому подобрать k не требуется.

735

Задание: Упростите выражение.

• a) \( (x + 4)^2 - 7x \)

Разлагаем квадрат суммы: \( x^2 + 8x + 16 - 7x = x^2 + x + 16 \).

• б) \( (c - 1)^2 - (1 - 2c) \)

Разлагаем квадрат разности: \( c^2 - 2c + 1 - 1 + 2c = c^2 \).

• в) \( (x - y)^2 + x(y - x) \)

Разлагаем квадрат разности: \( x^2 - 2xy + y^2 + xy - x^2 = y^2 - xy \).

• г) \( (a + b)^2 - 2b(a - b) \)

Разлагаем квадрат суммы: \( a^2 + 2ab + b^2 - 2ab + 2b^2 = a^2 + 3b^2 \).

• д) \( 9m^2 - (n - 3m)^2 \)

Разлагаем квадрат разности: \( 9m^2 - (n^2 - 6mn + 9m^2) = 9m^2 - n^2 + 6mn - 9m^2 = 6mn - n^2 \).

• e) \( (a^2 + b^2) - (a - b)^2 \)

Разлагаем квадрат разности: \( a^2 + b^2 - (a^2 - 2ab + b^2) = a^2 + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 = 2ab \).

• ж) \( z(5 - z) + (z - 5)^2 \)

Раскрываем скобки и разлагаем квадрат разности: \( 5z - z^2 + z^2 - 10z + 25 = -5z + 25 \).

• 3) \( 3u(u + 2) - (u + 3)^2 \)

Раскрываем скобки и разлагаем квадрат суммы: \( 3u^2 + 6u - (u^2 + 6u + 9) = 3u^2 + 6u - u^2 - 6u - 9 = 2u^2 - 9 \).

736

Задание: Преобразуйте в многочлен.

• a) \( 2(a - 3)^2 \)

Разлагаем квадрат разности: \( 2(a^2 - 6a + 9) = 2a^2 - 12a + 18 \).

• б) \( 3(x + y)^2 \)

Разлагаем квадрат суммы: \( 3(x^2 + 2xy + y^2) = 3x^2 + 6xy + 3y^2 \).

• в) \( -5(1 - 2c)^2 \)

Разлагаем квадрат разности: \( -5(1 - 4c + 4c^2) = -5 + 20c - 20c^2 \).

• г) \( -4(3m + n)^2 \)

Разлагаем квадрат суммы: \( -4(9m^2 + 6mn + n^2) = -36m^2 - 24mn - 4n^2 \).

• д) \( 0.1(a + 5)^2 \)

Разлагаем квадрат суммы: \( 0.1(a^2 + 10a + 25) = 0.1a^2 + a + 2.5 \).

• e) \( -\frac{1}{2}(2u - 1)^2 \)

Разлагаем квадрат разности: \( -\frac{1}{2}(4u^2 - 4u + 1) = -2u^2 + 2u - \frac{1}{2} \).

737

Задание: Решите уравнение.

• a) \( (x + 3)^2 - x^2 = 33 \)

Разлагаем квадрат суммы: \( x^2 + 6x + 9 - x^2 = 33 \), \( 6x = 24 \), \( x = 4 \).

• б) \( x^2 - (x - 5)^2 = 10 \)

Разлагаем квадрат разности: \( x^2 - (x^2 - 10x + 25) = 10 \), \( x^2 - x^2 + 10x - 25 = 10 \), \( 10x = 35 \), \( x = 3.5 \).

• в) \( (x + 12)^2 = x(x - 3) \)

Разлагаем квадрат суммы: \( x^2 + 24x + 144 = x^2 - 3x \), \( 27x = -144 \), \( x = -\frac{16}{3} \).

• г) \( (x - 3)(x + 1) = x - 8 \)

Раскрываем скобки: \( x^2 + x - 3x - 3 = x - 8 \), \( x^2 - 3x + 5 = 0 \). Дискриминант: \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11 \). Так как дискриминант меньше нуля, уравнение не имеет действительных решений.