ГЛАВА 8 Многогранники и круглые тела Тренажеры ■ Общие свойства многогранников Изображение многогранников Раз- вертки и разрезания Многогранники Круглые тела ■ Общие свойства многогранников 8.1. Подсчитайте число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) следующих многогранников и проверьте справедливость формулы Эйлера: В Р+ Г = 2. A 1) тетраэдр; 2) куб; 3) параллелепипед; 4) октаэдр; 5) додекаэдр; 6) икосаэдр. Б Правильные и полуправильные многогранники: 1) п-угольная правильная пирамида; 2) п-угольная правильная призма; 3) усеченная п-угольная пирамида; B 8.2. 204 В вершине многогранника сходится п ребер. Эту вершину срезали провели сечение плоскостью вблизи вершины, пересекающее все ребра. Как изменились числа В, Р, Г? Сохранилось ли соотношение формулы Эйлера? 8.3. Предположим, что у многогранника есть вершина, в ко- торой сходятся три ребра. Проверьте, что это свойство со- хранится после срезания этой и только этой вершины. 8.4. Докажите, что существует многогранник, имеющий 300 ребер. 8.5. С каким числом ребер можно построить многогранники, исходя из четырехугольной пирамиды, срезая все верши- ны с тремя выходящими ребрами при них?

Задание 8.1 A

Давай вычислим число вершин, ребер и граней для каждого многогранника и проверим формулу Эйлера: В - Р + Г = 2.

1. Тетраэдр:
   • Вершины (В) = 4
   • Ребра (Р) = 6
   • Грани (Г) = 4
   • Проверка: 4 - 6 + 4 = 2 (Верно)
2. Куб:
   • Вершины (В) = 8
   • Ребра (Р) = 12
   • Грани (Г) = 6
   • Проверка: 8 - 12 + 6 = 2 (Верно)
3. Параллелепипед:
   • Вершины (В) = 8
   • Ребра (Р) = 12
   • Грани (Г) = 6
   • Проверка: 8 - 12 + 6 = 2 (Верно)
4. Октаэдр:
   • Вершины (В) = 6
   • Ребра (Р) = 12
   • Грани (Г) = 8
   • Проверка: 6 - 12 + 8 = 2 (Верно)
5. Додекаэдр:
   • Вершины (В) = 20
   • Ребра (Р) = 30
   • Грани (Г) = 12
   • Проверка: 20 - 30 + 12 = 2 (Верно)
6. Икосаэдр:
   • Вершины (В) = 12
   • Ребра (Р) = 30
   • Грани (Г) = 20
   • Проверка: 12 - 30 + 20 = 2 (Верно)

Задание 8.2 B

Давай разберем, как изменятся числа вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) после срезания вершины многогранника, где сходится n ребер. Также проверим, сохранится ли соотношение формулы Эйлера.

Когда мы срезаем вершину, где сходится n ребер, мы создаем новую грань (многоугольник) на месте среза. Это увеличивает число граней на 1. Также мы заменяем одну вершину на n новых вершин (по одной на каждое ребро, сходящееся в исходной вершине). Число ребер увеличивается на n (новые ребра, соединяющие новые вершины между собой) и уменьшается на n, так как n ребер срезаются, заменяясь сторонами новой грани.

Изменения:

• Число вершин (В) увеличивается на n-1: В' = В + n -1
• Число ребер (Р) увеличивается на n: Р' = Р + n
• Число граней (Г) увеличивается на 1: Г' = Г + 1

Проверим формулу Эйлера после изменений:

В' - Р' + Г' = (В + n - 1) - (Р + n) + (Г + 1) = В + n - 1 - Р - n + Г + 1 = В - Р + Г = 2

Соотношение формулы Эйлера сохраняется.

Задание 8.3

Предположим, у многогранника есть вершина, в которой сходятся три ребра. Покажем, что это свойство сохранится после срезания только этой вершины.

При срезании вершины, где сходятся три ребра, мы заменяем эту вершину новой гранью (треугольником), и каждая из трех новых вершин на этой грани будет соединена с двумя другими вершинами этой грани и с вершиной, которая изначально была соединена с исходной вершиной. Таким образом, в каждой из трех новых вершин будут сходиться три ребра.

Итак, свойство, что в вершине сходятся три ребра, сохраняется после срезания этой вершины.

Задание 8.4

Докажем, что существует многогранник, имеющий 300 ребер.

Рассмотрим n-угольную призму. У нее 2n вершин, 3n ребер и n+2 грани. Чтобы получить многогранник с 300 ребрами, нужно, чтобы 3n = 300, то есть n = 100. Такая призма существует, и у нее 200 вершин, 300 ребер и 102 грани.

Другой вариант: Рассмотрим n-угольную пирамиду. У нее n+1 вершина, 2n ребер и n+1 грань. Чтобы получить многогранник с 300 ребрами, нужно, чтобы 2n = 300, то есть n = 150. Такая пирамида существует, и у нее 151 вершина, 300 ребер и 151 грань.

Задание 8.5

Рассмотрим четырехугольную пирамиду. У нее 5 вершин (1 на вершине пирамиды и 4 в основании) и 8 ребер (4 ребра в основании и 4 ребра, соединяющие вершину с основанием).

Срезая каждую вершину с тремя выходящими ребрами, мы добавляем новую грань на месте каждой срезанной вершины. В четырехугольной пирамиде только одна вершина (вершина пирамиды) имеет 3 ребра, выходящие из нее. Четыре вершины основания имеют по 3 ребра (2 ребра основания и 1 ребро, соединяющее с вершиной). После срезания каждой из этих вершин, мы увеличиваем число граней на 5.

Когда мы срезаем вершину, где сходится n ребер, число ребер увеличивается на n. В четырехугольной пирамиде мы срезаем одну вершину с 4 ребрами, следовательно, добавляем 4 новых ребра, и 4 вершины с 3 ребрами, следовательно, добавляем 4*3 = 12 новых ребер.

Рассмотрим, как меняется число ребер при срезании каждой вершины:

• Исходная четырехугольная пирамида: 8 ребер
• Срезаем вершину пирамиды (3 ребра): добавляем 3 ребра
• Срезаем каждую из 4 вершин основания (3 ребра): добавляем 4 * 3 = 12 ребер
• Итого: 8 + 3 + 12 = 23 ребра.

Таким образом, можно построить многогранник с 23 ребрами, исходя из четырехугольной пирамиды, срезая все вершины с тремя выходящими ребрами при них.