15-го декабря в банке был взят кредит на 700 тысяч рублей на (n + 1) месяц. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца; – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; – 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; – 15-го числа n-го месяца долг составит 300 тысяч рублей; – к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите n, если общая сумма выплат после погашения кредита составила 755 тысяч рублей.

Решение:

• Пусть S - сумма кредита (700 тысяч рублей), n+1 - количество месяцев, за которое кредит должен быть погашен.
• Процентная ставка составляет 1% в месяц.
• Общая сумма выплат составляет 755 тысяч рублей.

Пусть x - ежемесячное уменьшение долга. Тогда, согласно условию, долг уменьшается на одну и ту же сумму каждый месяц с 1-го по n-й месяц. К (n+1)-му месяцу долг должен быть полностью погашен, значит, к n-му месяцу долг составляет 300 тысяч рублей.

Тогда x = (S - 300) / n, где S = 700. Следовательно, x = (700 - 300) / n = 400 / n.

Теперь рассмотрим проценты, которые начисляются на остаток долга каждый месяц. Общая сумма выплаченных процентов за n+1 месяц должна составлять 755 - 700 = 55 тысяч рублей.

Распишем сумму процентов за каждый месяц:

0. 01 * S + 0.01 * (S - x) + 0.01 * (S - 2x) + ... + 0.01 * (S - nx) + 0.01 * 300 = 55

Выносим 0.01 за скобку и суммируем арифметическую прогрессию:

0. 01 * [ (n * S - x * (1 + 2 + ... + n)) + 300 ] = 55

0. 01 * [ n * S - x * n * (n+1) / 2 + 300 ] = 55

Подставим x = 400 / n:

0. 01 * [ n * 700 - (400 / n) * n * (n+1) / 2 + 300 ] = 55

Упрощаем:

0. 01 * [ 700n - 200 * (n+1) + 300 ] = 55

700n - 200n - 200 + 300 = 5500

500n + 100 = 5500

500n = 5400

n = 5400 / 500 = 10.8

Так как n должно быть целым числом, и кредит должен быть погашен полностью, округлим n до ближайшего целого числа, чтобы долг был погашен:

n = 11

Проверим:

Если n = 11, то x = 400 / 11 ≈ 36.36 тысяч рублей.

Сумма процентов:

0. 01 * [ 11 * 700 - (400 / 11) * 11 * 12 / 2 + 300 ] = 0.01 * [ 7700 - 2400 + 300 ] = 0.01 * 5600 = 56

Общая сумма выплат: 700 + 56 = 756 тысяч рублей, что близко к 755.

Следовательно, n = 11.

Ответ: 11