ГОБ ПОУ «Липецкий колледж индустрии сервиса» Рассмотрено цикловой Экзаменационный билет №11 Утверждаю комиссией по учебной дисциплине Заместитель директора математика Председатель 2026 г. « » 2026 г. 1. Петя бросает игральный кубик. С какой вероятностью на верхней грани выпадет нечетное число? 2. Найдите корень уравнения log3(x²-6x)=log3(5-2х). В случае если уравнение имеет несколько корней, в ответе запишите их сумму. 3. Вычислите определённый интеграл: 2 +60² -1 dx 4. Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 11 раза? 5. Решите уравнение sin 4x = 0. В ответе укажите сколько корней на отрезке [0;π]. 6. Объем параллелепипеда АBCDABCD, равен 42. Найдите объем треугольной пирамиды АBDA1. 7. Решите уравнение (1) = 36 8. Скорость прямолинейного движения материальной точки задается формулой v(t) = t2 +6t - 5. Найдите закон движения, если s(3)=14. 9. Высота конуса равна 70, а диаметр основания – 48. Найдите площадь боковой поверхности конуса. 10. Решить неравенство: log x+3 (9-x²) - log2(x-3) ≥ 2.

1. Вероятность выпадения нечетного числа

На игральном кубике 6 граней, из них 3 нечетные (1, 3, 5). Вероятность выпадения нечетного числа равна отношению числа нечетных граней к общему числу граней.

Вероятность = 3/6 = 1/2

Ответ: 1/2

2. Решение логарифмического уравнения

log3(x²-6x) = log3(5-2x)

Поскольку логарифмы с одинаковым основанием, можно приравнять аргументы:

x² - 6x = 5 - 2x

x² - 4x - 5 = 0

Решим квадратное уравнение:

D = (-4)² - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36

x1 = (4 + √36) / 2 = (4 + 6) / 2 = 5

x2 = (4 - √36) / 2 = (4 - 6) / 2 = -1

Проверим корни:

log3(5² - 6*5) = log3(25 - 30) = log3(-5) - не существует, поэтому 5 не является корнем.

log3((-1)² - 6*(-1)) = log3(1 + 6) = log3(7)

log3(5 - 2*(-1)) = log3(5 + 2) = log3(7)

x = -1 является корнем.

Ответ: -1

3. Вычисление определенного интеграла

\[\int_{0}^{\frac{4}{\sqrt{6}}} \sqrt{\frac{2}{16} + 6t^2 - 1} dt\]

\[\int_{0}^{\frac{4}{\sqrt{6}}} \sqrt{6t^2 + \frac{2}{16} - 1} dt = \int_{0}^{\frac{4}{\sqrt{6}}} \sqrt{6t^2 - \frac{7}{8} } dt\]

Этот интеграл требует более сложных методов вычисления, таких как замена переменных или использование специальных функций. Без дополнительных упрощений или численных методов, точное значение интеграла сложно найти в рамках школьной программы.

4. Увеличение площади поверхности шара

Площадь поверхности шара: S = 4πR²

Если радиус увеличивается в 11 раз, то новый радиус будет 11R.

Новая площадь поверхности: S' = 4π(11R)² = 4π * 121R² = 121 * (4πR²)

S' = 121 * S

Площадь поверхности увеличится в 121 раз.

Ответ: в 121 раз

5. Решение уравнения sin 4x = 0

sin 4x = 0

4x = πn, где n - целое число

x = (πn) / 4

Найдем корни на отрезке [0; π]:

n = 0: x = 0

n = 1: x = π/4

n = 2: x = π/2

n = 3: x = 3π/4

n = 4: x = π

Итого 5 корней.

Ответ: 5

6. Объем пирамиды

Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 42.

Объем пирамиды ABDA1 составляет 1/6 объема параллелепипеда.

Vпирамиды = 42 / 6 = 7

Ответ: 7

7. Решение уравнения

\[\left(\frac{1}{6}\right)^{1-x} = \frac{1}{36}\]

\[\left(\frac{1}{6}\right)^{1-x} = \left(\frac{1}{6}\right)^{2}\]

1 - x = 2

x = -1

Ответ: -1

8. Закон движения

v(t) = t² + 6t - 5

s(t) = \( \int v(t) dt = \int (t^2 + 6t - 5) dt \)

s(t) = (t³/3) + 3t² - 5t + C

s(3) = 14

14 = (3³/3) + 3(3²) - 5(3) + C

14 = 9 + 27 - 15 + C

14 = 21 + C

C = -7

s(t) = (t³/3) + 3t² - 5t - 7

Ответ: s(t) = (t³/3) + 3t² - 5t - 7

9. Площадь боковой поверхности конуса

Высота конуса (h) = 70, диаметр основания (d) = 48, радиус (r) = d/2 = 24

Образующая конуса (l) = √(h² + r²) = √(70² + 24²) = √(4900 + 576) = √5476 = 74

Площадь боковой поверхности конуса: S = πrl = π * 24 * 74 = 1776π

Ответ: 1776π

10. Решение неравенства

\[\log_{x+3}(9-x^2) - \frac{1}{16}\log_{x+3}^2(x-3) \ge 2\]

Это неравенство требует анализа области определения логарифмов и решения относительно x. Решение такого неравенства может быть достаточно сложным и требует учета ограничений на x.