Горка с двумя вершинами высоты h и 3h покоится на гладкой горизонтальной поверхности стола. На правой вершине находится шайба, масса которой в 12 раз меньше массы горки. От незначительного толчка шайба и горка приходят в движение: шайба движется влево, не отрываясь от гладкой поверхности горки, а поступательно движущаяся горка не отрывается от стола. Найдите скорость горки в тот момент, когда шайба окажется на левой вершине горки.

Обозначим массу горки через M, массу шайбы через m, скорость горки в искомый момент — через V, а скорость шайбы относительно горки — через u. По условию m = M/12. Считаем начальный толчок незначительным, то есть начальной кинетической энергией можно пренебречь.

1. Внешняя горизонтальная сила на систему «горка — шайба» отсутствует, поэтому горизонтальный импульс сохраняется. Система первоначально покоилась:

   M V + m(V + u) = 0.

   Здесь V + u — горизонтальная скорость шайбы относительно стола. На вершинах касательная к поверхности горизонтальна.

2. Подставим m = M/12 и найдём скорость шайбы относительно горки:

   (13M/12)V + (M/12)u = 0, откуда u = −13V.

3. При переходе с высоты 3h на высоту h шайба теряет потенциальную энергию:

   ΔEп = mg(3h − h) = 2mgh.

   Она переходит в кинетическую энергию шайбы и горки:

   2mgh = (1/2)MV² + (1/2)m(V + u)².

4. Так как u = −13V, скорость шайбы относительно стола равна V + u = −12V. Подставим это и m = M/12:

   2(M/12)gh = (1/2)MV² + (1/2)(M/12)(12V)² = (13/2)MV².

   После сокращения на M получаем V² = gh/39.

Ответ: скорость горки равна √(gh/39), вправо.