4. Город и поселок расположены на одном берегу реки. Из города в поселок отправляется доставщик еды, который должен передать заказ и возвратиться назад. Доставщик может либо пройти весь путь туда и обратно пешком, либо проплыть этот путь по реке на лодке, собственная скорость которой равна скорости пешехода. При каком способе передвижения посыльный вернется раньше? Ответ математически обосновать.

Ответ: Пешком быстрее.

Пошаговое решение:

• Обозначим расстояние между городом и поселком за S, скорость пешехода (и лодки в стоячей воде) за v, а скорость течения реки за u.
• Рассмотрим случай, когда доставщик идет пешком. Время, затраченное на путь туда и обратно, будет равно:

\[t_{пешком} = \frac{S}{v} + \frac{S}{v} = \frac{2S}{v}\]

• Теперь рассмотрим случай, когда доставщик плывет на лодке. Когда он плывет из города в поселок (против течения), его скорость относительно берега будет v - u, а когда он плывет обратно (по течению), его скорость будет v + u.

Время, затраченное на путь туда и обратно на лодке, будет равно: \[t_{лодке} = \frac{S}{v - u} + \frac{S}{v + u} = \frac{S(v + u) + S(v - u)}{(v - u)(v + u)} = \frac{2Sv}{v^2 - u^2}\]

• Сравним t_{пешком} и t_{лодке}:

\[\frac{2S}{v} \text{ и } \frac{2Sv}{v^2 - u^2}\] Разделим оба выражения на 2S: \[\frac{1}{v} \text{ и } \frac{v}{v^2 - u^2}\] Чтобы сравнить эти дроби, приведем их к общему числителю, умножив первую дробь на v/v: \[\frac{v}{v^2} \text{ и } \frac{v}{v^2 - u^2}\] Так как v^2 - u^2 < v^2 (потому что u^2 всегда положительное число), то дробь v/(v^2 - u^2) будет больше, чем дробь v/v^2. Это означает, что t_{лодке} > t_{пешком}.

Ответ: Пешком быстрее.