ГОСУДАРСТВЕННОЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛ ЦКАЯ АКАДЕМИЯ УПРАВЛЕНИЯ И ГЛАВЕ ДОНЕЦКОЙ НАРОД ние подготовки 38.03.03 «Управлени МНС, МБ высшей математики исциплина высшая математика Семестр 2 Форма обучения очна а «Высшая математика» Экзаменационный сие вопросы. ость и выпуклость графика функции. е задания. редел функции lim x-2 x→2√4x+1-3

Решение:

Задание содержит математический пример на нахождение предела функции:

• Предел функции: \( \lim_{x \to 2} \frac{x-2}{\sqrt{4x+1}-3} \)

Для решения данного предела, сначала подставим \( x=2 \) в выражение, чтобы определить, имеем ли мы неопределённость.

Числитель: \( 2 - 2 = 0 \)
Знаменатель: \( \sqrt{4 \cdot 2 + 1} - 3 = \sqrt{8 + 1} - 3 = \sqrt{9} - 3 = 3 - 3 = 0 \)

Мы получили неопределённость вида \( \frac{0}{0} \). Для её раскрытия используем метод умножения числителя и знаменателя на сопряжённое выражение к знаменателю.

Сопряжённое выражение к \( \sqrt{4x+1}-3 \) будет \( \sqrt{4x+1}+3 \).

\( \lim_{x \to 2} \frac{x-2}{\sqrt{4x+1}-3} \cdot \frac{\sqrt{4x+1}+3}{\sqrt{4x+1}+3} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(\sqrt{4x+1}+3)}{(\sqrt{4x+1})^2 - 3^2} \)

\( = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(\sqrt{4x+1}+3)}{(4x+1) - 9} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(\sqrt{4x+1}+3)}{4x-8} \)

\( = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(\sqrt{4x+1}+3)}{4(x-2)} \)

Сокращаем \( (x-2) \) в числителе и знаменателе:

\( = \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{4x+1}+3}{4} \)

Теперь подставим \( x=2 \) в полученное выражение:

\( = \frac{\sqrt{4 \cdot 2 + 1}+3}{4} = \frac{\sqrt{9}+3}{4} = \frac{3+3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)

Ответ: \( \frac{3}{2} \).