Готовиться к контрольной работе: 1. Найдите восьмой член арифметической прогрессии 11; -6; 1; .... Вычислите сумму первых восьми се членов. 2. Сумма четвёртого и восьмого членов арифметической прогрессии равна 13. Второй ее член на 0,9 меньше пятого. Найдите первый и второй члены этой прогрессии. 3. Найдите шестой член геометрической прогрессии 5/121; -5/11; 5 ... 4. Найдите все значения х, при которых значения выражений 5х+1; √7x-5: x - 2 являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии. 5. Найдите сумму всех двузначных чисел от 15 до 85, которые при делении на 7 дают в остатке 4.

1. Арифметическая прогрессия

Дана арифметическая прогрессия: 11, -6, 1, ...

• Найдем разность арифметической прогрессии: d = -6 - 11 = -17
• Формула n-го члена арифметической прогрессии: a_n = a₁ + (n - 1)d
• Найдем восьмой член: a₈ = 11 + (8 - 1)(-17) = 11 + 7(-17) = 11 - 119 = -108

• Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии: S_n = (n/2)(a₁ + a_n)
• Найдем сумму первых восьми членов: S₈ = (8/2)(11 - 108) = 4(-97) = -388

Ответ: a₈ = -108, S₈ = -388

2. Арифметическая прогрессия

Сумма четвертого и восьмого членов равна 13: a₄ + a₈ = 13

Второй член на 0,9 меньше пятого: a₂ = a₅ - 0.9

• Выразим a₄ и a₈ через a₁ и d:
• a₄ = a₁ + 3d
• a₈ = a₁ + 7d
• a₄ + a₈ = a₁ + 3d + a₁ + 7d = 2a₁ + 10d = 13

• Выразим a₂ и a₅ через a₁ и d:
• a₂ = a₁ + d
• a₅ = a₁ + 4d
• a₁ + d = a₁ + 4d - 0.9
• 3d = 0.9
• d = 0.3

• Подставим d в первое уравнение:
• 2a₁ + 10(0.3) = 13
• 2a₁ + 3 = 13
• 2a₁ = 10
• a₁ = 5

• Найдем a₂:
• a₂ = a₁ + d = 5 + 0.3 = 5.3

Ответ: a₁ = 5, a₂ = 5.3

3. Геометрическая прогрессия

Дана геометрическая прогрессия: 5/121, -5/11, 5, ...

• Найдем знаменатель геометрической прогрессии: q = (-5/11) / (5/121) = (-5/11) * (121/5) = -11
• Формула n-го члена геометрической прогрессии: b_n = b₁ * q^(n-1)
• Найдем шестой член: b₆ = (5/121) * (-11)^(6-1) = (5/121) * (-11)^5 = (5/121) * (-161051) = -6655

Ответ: b₆ = -6655

4. Геометрическая прогрессия

5x + 1, \(\sqrt{7x - 5}\), x - 2 - последовательные члены геометрической прогрессии.

Тогда, квадрат среднего члена равен произведению крайних членов:

\((\sqrt{7x - 5})^2 = (5x + 1)(x - 2)\)

\(7x - 5 = 5x^2 - 10x + x - 2\)

\(5x^2 - 10x + x - 2 - 7x + 5 = 0\)

\(5x^2 - 16x + 3 = 0\)

• Решим квадратное уравнение через дискриминант:
• D = (-16)^2 - 4 * 5 * 3 = 256 - 60 = 196
• x₁ = (16 + \(\sqrt{196}\)) / (2 * 5) = (16 + 14) / 10 = 30 / 10 = 3
• x₂ = (16 - \(\sqrt{196}\)) / (2 * 5) = (16 - 14) / 10 = 2 / 10 = 0.2

Проверим корни:

• При x = 3: 5(3) + 1 = 16; \(\sqrt{7(3) - 5}\) = \(\sqrt{16}\) = 4; 3 - 2 = 1. Последовательность: 16, 4, 1. q = 1/4 (подходит)
• При x = 0.2: 5(0.2) + 1 = 2; \(\sqrt{7(0.2) - 5}\) = \(\sqrt{1.4 - 5}\) = не существует (не подходит)

Ответ: x = 3

5. Сумма чисел

Найдем сумму всех двузначных чисел от 15 до 85, которые при делении на 7 дают в остатке 4.

• Первое число: 18 (18 : 7 = 2, остаток 4)
• Последнее число: 81 (81 : 7 = 11, остаток 4)

Составим арифметическую прогрессию: 18, 25, 32, ..., 81

• Найдем количество членов в прогрессии: a_n = a₁ + (n - 1)d
• 81 = 18 + (n - 1)7
• 63 = (n - 1)7
• 9 = n - 1
• n = 10

• Найдем сумму этих чисел: S_n = (n/2)(a₁ + a_n)
• S₁₀ = (10/2)(18 + 81) = 5(99) = 495

Ответ: 495