Градиент функции z = x² +y² в точке Р。(1, 0) равен

Решение:

Чтобы найти градиент функции \( z = x^2 + y^2 \) в точке \( P_0(1, 0) \), нам нужно сначала найти частные производные функции по \( x \) и \( y \).

1. Найдем частную производную по \( x \):
   \( \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2) = 2x \)
2. Найдем частную производную по \( y \):
   \( \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2) = 2y \)
3. Градиент функции \( \nabla z \) записывается как \( \nabla z = \frac{\partial z}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial z}{\partial y} \mathbf{j} \), где \( \mathbf{i} \) и \( \mathbf{j} \) — единичные векторы в направлениях \( x \) и \( y \) соответственно.
4. Подставим значения \( x = 1 \) и \( y = 0 \) в частные производные:
• \( \frac{\partial z}{\partial x}(1, 0) = 2 \cdot 1 = 2 \)
• \( \frac{\partial z}{\partial y}(1, 0) = 2 \cdot 0 = 0 \)
5. Таким образом, градиент функции \( z = x^2 + y^2 \) в точке \( P_0(1, 0) \) равен:
• \( \nabla z(1, 0) = 2 \mathbf{i} + 0 \mathbf{j} = 2\mathbf{i} \)

Ответ: 2i