Граф является ... тогда и только тогда, когда степени всех его вершин четные.

Это утверждение известно как Лемма о рукопожатиях или Теорема Эйлера о графах.

Теорема гласит: В любом неориентированном графе сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу рёбер. Отсюда следует, что число вершин с нечётной степенью всегда чётно.

Объяснение:

1. Степень вершины — это количество рёбер, инцидентных ей.
2. Когда мы проходим по всем рёбрам графа, каждое ребро добавляет 1 к степени ровно двух вершин (или 2 к степени одной вершины, если это петля).
3. Сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу рёбер, поэтому она всегда чётная.
4. Из этого следует, что количество вершин с нечётной степенью должно быть чётным, иначе сумма степеней была бы нечётной.

Таким образом, граф, в котором степени всех вершин чётные, является частным случаем, когда число вершин с нечётной степенью равно нулю (что является чётным числом).

Ответ: Это утверждение является верным и известно как Лемма о рукопожатиях.