Графическое решение уравнения y = 2x² - 4x - 1

Решение:

Заданное уравнение \( y = 2x^2 - 4x - 1 \) является уравнением параболы.

1. Находим вершину параболы:

Для нахождения вершины параболы воспользуемся формулами:

\( x_{B} = -\frac{b}{2a} \)

\( y_{B} = 2(x_{B})^2 - 4(x_{B}) - 1 \)

В данном уравнении коэффициенты равны:

\( a = 2 \)

\( b = -4 \)

\( c = -1 \)

Вычисляем координату \( x_{B} \):

\[ x_{B} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 \]

Вычисляем координату \( y_{B} \), подставляя \( x_{B} = 1 \) в уравнение:

\[ y_{B} = 2(1)^2 - 4(1) - 1 = 2 \cdot 1 - 4 - 1 = 2 - 4 - 1 = -3 \]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (1, -3) \).

2. Находим точки пересечения с осями координат:

Пересечение с осью OY (при \( x = 0 \)):

\[ y = 2(0)^2 - 4(0) - 1 = -1 \]

Точка пересечения с осью OY: \( (0, -1) \).

Пересечение с осью OX (при \( y = 0 \)):

Для этого решаем квадратное уравнение \( 2x^2 - 4x - 1 = 0 \).

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 16 + 8 = 24 \]

Найдем корни уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{2} \]

\( x_1 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{2} \approx 1 + \frac{2.45}{2} \approx 1 + 1.225 = 2.225 \)

\( x_2 = 1 - \frac{\sqrt{6}}{2} \approx 1 - 1.225 = -0.225 \)

Точки пересечения с осью OX: \( (2.225, 0) \) и \( (-0.225, 0) \).

3. Строим график:

Отметим на координатной плоскости вершину параболы \( (1, -3) \), точки пересечения с осями \( (0, -1) \), \( (2.225, 0) \) и \( (-0.225, 0) \). Так как коэффициент \( a = 2 \) положителен, ветви параболы направлены вверх. Также, используя таблицу значений, можно найти дополнительные точки. Например, при \( x = 2 \): \( y = 2(2)^2 - 4(2) - 1 = 8 - 8 - 1 = -1 \). Точка \( (2, -1) \) симметрична точке \( (0, -1) \) относительно оси симметрии \( x = 1 \).

Ответ: График функции \( y = 2x^2 - 4x - 1 \) — парабола с вершиной в точке \( (1, -3) \), ветви которой направлены вверх. Она пересекает ось OY в точке \( (0, -1) \) и ось OX в точках \( (-0.225, 0) \) и \( (2.225, 0) \).