3.45. График квадратичной функции f(x) = 2x² + bx + 4 проходит через точку В(-1; -12). Найдите: а) координаты вершины параболы; б) ось симметрии параболы; в) множество значений функции; г) нули функции.

Давай решим эту задачу по шагам. Нам дана квадратичная функция \( f(x) = 2x^2 + bx + 4 \) и известно, что график проходит через точку \( B(-1, -12) \). Наша цель — найти координаты вершины параболы, ось симметрии, множество значений функции и нули функции. 1. Находим значение b Подставим координаты точки \( B(-1, -12) \) в уравнение функции: \[ -12 = 2(-1)^2 + b(-1) + 4 \] \[ -12 = 2 - b + 4 \] \[ -12 = 6 - b \] \[ b = 6 + 12 \] \[ b = 18 \] Теперь мы знаем, что функция имеет вид \( f(x) = 2x^2 + 18x + 4 \). 2. Находим координаты вершины параболы Координаты вершины параболы \( (x_v, y_v) \) можно найти по формулам: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \] \[ y_v = f(x_v) \] В нашем случае \( a = 2 \) и \( b = 18 \), поэтому: \[ x_v = -\frac{18}{2 \cdot 2} = -\frac{18}{4} = -4.5 \] Теперь найдем \( y_v \): \[ y_v = f(-4.5) = 2(-4.5)^2 + 18(-4.5) + 4 \] \[ y_v = 2(20.25) - 81 + 4 \] \[ y_v = 40.5 - 81 + 4 \] \[ y_v = -36.5 \] Таким образом, координаты вершины параболы \( (-4.5, -36.5) \). 3. Ось симметрии параболы Ось симметрии параболы — это вертикальная линия, проходящая через вершину параболы. Её уравнение: \[ x = x_v \] В нашем случае ось симметрии \( x = -4.5 \). 4. Множество значений функции Так как \( a = 2 > 0 \), парабола открыта вверх. Это означает, что минимальное значение функции достигается в вершине параболы. Следовательно, множество значений функции: \[ y \geq y_v \] В нашем случае множество значений \( y \geq -36.5 \). 5. Нули функции Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение \( f(x) = 0 \): \[ 2x^2 + 18x + 4 = 0 \] Разделим уравнение на 2: \[ x^2 + 9x + 2 = 0 \] Используем квадратное уравнение для нахождения корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] В нашем случае \( a = 1 \), \( b = 9 \), \( c = 2 \), поэтому: \[ x = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-9 \pm \sqrt{81 - 8}}{2} \] \[ x = \frac{-9 \pm \sqrt{73}}{2} \] Таким образом, нули функции: \[ x_1 = \frac{-9 + \sqrt{73}}{2} \] \[ x_2 = \frac{-9 - \sqrt{73}}{2} \] Ответы: а) Координаты вершины параболы: \( (-4.5, -36.5) \) б) Ось симметрии параболы: \( x = -4.5 \) в) Множество значений функции: \( y \geq -36.5 \) г) Нули функции: \( x_1 = \frac{-9 + \sqrt{73}}{2}, \quad x_2 = \frac{-9 - \sqrt{73}}{2} \)

Ответ: а) (-4.5, -36.5); б) x = -4.5; в) y ≥ -36.5; г) x₁ = (-9 + √73)/2, x₂ = (-9 - √73)/2

Отлично! Ты справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!