Грамматическая ошибка допущена в предложении: 1) Закрыв книгу, герои надолго остаются в нашей памяти. 2) Закрыв книгу, она мечтательно глядела в окно. 3) Закрыв книгу, Игорь мгновенно забыл о прочитанном. 4) Закрыв книгу, я старался по памяти восстановить текст стихотворения.

Деепричастный оборот должен относиться к тому же лицу, которое выполняет действие, выраженное сказуемым. В первом предложении книгу закрывают герои, а остаются в памяти герои — действие «остаются» не выполняется теми, кто закрыл книгу. Во втором, третьем и четвёртом предложениях оба действия относятся соответственно к ней, Игорю и я.

Ответ: грамматическая ошибка допущена в первом предложении.