Группа «А» 1-8. Найдите Sполн.

Задание 1

Площадь полной поверхности правильной призмы складывается из площади боковой поверхности и удвоенной площади основания. В данном случае, основание — равносторонний треугольник, а боковые грани — прямоугольники.

• Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = P_{осн} \cdot h \), где \( P_{осн} \) — периметр основания, \( h \) — высота призмы.
• Площадь основания: \( S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \), где \( a \) — сторона основания.

В данной задаче у нас есть сторона основания (6) и высота боковой грани (10). Найдем площадь полной поверхности.

1. Периметр основания: \( P_{осн} = 3 \cdot 6 = 18 \).
2. Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = 18 \cdot 10 = 180 \).
3. Площадь основания: \( S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9\sqrt{3} \).
4. Площадь полной поверхности: \( S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 180 + 2 \cdot 9\sqrt{3} = 180 + 18\sqrt{3} \).

Ответ: \( 180 + 18\sqrt{3} \)

Задание 2

В данном случае, основание призмы — прямоугольный треугольник с катетами 9 и 15, а высота призмы не указана, но мы можем предположить, что она равна одному из катетов, например 9 или 15. Предположим, что высота призмы равна 15.

• Площадь основания: \( S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \), где \( a \) и \( b \) — катеты.
• Боковая поверхность: три прямоугольника.

1. Площадь основания: \( S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 15 = 67.5 \).
2. Гипотенуза основания: \( c = \sqrt{9^2 + 15^2} = \sqrt{81 + 225} = \sqrt{306} \approx 17.5 \).
3. Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = 9 \cdot 15 + 15 \cdot \sqrt{306} + 9 \cdot \sqrt{306} = 135 + 24\sqrt{306} \).
4. Площадь полной поверхности: \( S_{полн} = 135 + 24\sqrt{306} + 2 \cdot 67.5 = 135 + 24\sqrt{306} + 135 = 270 + 24\sqrt{306} \).

Ответ: \( 270 + 24\sqrt{306} \)

Задание 3

Основание призмы — равнобедренный треугольник со сторонами 12 и 15. Высота призмы не указана. Предположим, что высота равна 12.

• Площадь основания: используем формулу Герона, если известны все стороны, или через высоту, опущенную на основание.
• Боковая поверхность: два прямоугольника 12 на 15 и один 12 на 12.

1. Полупериметр основания: \( p = \frac{12 + 15 + 15}{2} = 21 \).
2. Площадь основания по формуле Герона: \( S_{осн} = \sqrt{21(21-12)(21-15)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 9 \cdot 6 \cdot 6} = \sqrt{6804} = 42\sqrt{3} \).
3. Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = 2 \cdot 12 \cdot 15 + 12 \cdot 12 = 360 + 144 = 504 \).
4. Площадь полной поверхности: \( S_{полн} = 504 + 2 \cdot 42\sqrt{3} = 504 + 84\sqrt{3} \).

Ответ: \( 504 + 84\sqrt{3} \)

Задание 4

Основание - прямоугольный треугольник с катетом 10 и углом 45°. Значит, это равнобедренный прямоугольный треугольник, и второй катет тоже равен 10. Высота призмы, судя по рисунку, равна MA, и равна 10.

1. Площадь основания: \(S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50\)
2. Найдем гипотенузу основания: \(c = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}\)
3. Площадь боковой поверхности: \(S_{бок} = 10 \cdot 10 + 10 \cdot 10 + 10 \cdot 10\sqrt{2} = 200 + 100\sqrt{2}\)
4. Площадь полной поверхности: \(S_{полн} = 2 \cdot 50 + 200 + 100\sqrt{2} = 100 + 200 + 100\sqrt{2} = 300 + 100\sqrt{2}\)

Ответ: \(300 + 100\sqrt{2}\)

Задание 5

Призма, у которой в основании квадрат. Все стороны квадрата равны 14, а высота призмы равна 10.

1. Площадь основания: \(S_{осн} = 14 \cdot 14 = 196\)
2. Площадь боковой поверхности: \(S_{бок} = 4 \cdot 14 \cdot 10 = 560\)
3. Площадь полной поверхности: \(S_{полн} = 2 \cdot 196 + 560 = 392 + 560 = 952\)

Ответ: 952

Задание 6

Призма, у которой в основании квадрат. Все стороны квадрата равны 14, а высота призмы равна 22.

1. Площадь основания: \(S_{осн} = 14 \cdot 14 = 196\)
2. Площадь боковой поверхности: \(S_{бок} = 4 \cdot 14 \cdot 22 = 1232\)
3. Площадь полной поверхности: \(S_{полн} = 2 \cdot 196 + 1232 = 392 + 1232 = 1624\)

Ответ: 1624

Задание 7

Призма, у которой в основании квадрат. Сторона квадрата \(12\sqrt{2}\), а высота призмы равна 20.

1. Площадь основания: \(S_{осн} = (12\sqrt{2}) \cdot (12\sqrt{2}) = 144 \cdot 2 = 288\)
2. Площадь боковой поверхности: \(S_{бок} = 4 \cdot 12\sqrt{2} \cdot 20 = 960\sqrt{2}\)
3. Площадь полной поверхности: \(S_{полн} = 2 \cdot 288 + 960\sqrt{2} = 576 + 960\sqrt{2}\)

Ответ: \(576 + 960\sqrt{2}\)

Задание 8

В основании правильный шестиугольник со стороной 6. Высота призмы равна 8.

1. Площадь основания: \(S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 6^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 36 = 54\sqrt{3}\)
2. Площадь боковой поверхности: \(S_{бок} = 6 \cdot 6 \cdot 8 = 288\)
3. Площадь полной поверхности: \(S_{полн} = 2 \cdot 54\sqrt{3} + 288 = 108\sqrt{3} + 288\)

Ответ: \(108\sqrt{3} + 288\)