1 группа. Треугольник АВС подобен треугольнику А₁В₁С₁. Угол А = углу А1 = 30°. AB=4, A₁B₁=20, AC=5, A₁C₁=25. Найти: Площадь треугольника АВС Площадь треугольника А1В1С1 К(коэффициент пропорциональности) S ABC SAIBICI 2 группа: Треугольник АВС подобен треугольнику А₁В₁С₁. АС=6, высота ВН=6, А1В₁=12, высота В₁Н₁=8 Найти: Площадь треугольника АBC Площадь треугольника А1В1С1 К(коэффициент пропорциональности) S ABC SAIBICI 3 группа: Треугольник АВС подобен треугольнику А₁B₁C₁. AC=7, высота ВН=4, А₁В₁=21, высота В₁Н₁=12. Найти: Площадь треугольника АВС Площадь треугольника А1В1С1 К(коэффициент пропорциональности) S ABC SAIBICI

1 группа

Давай решим эту задачу по геометрии. Нам дано, что треугольник ABC подобен треугольнику A₁B₁C₁. Также известны стороны AB = 4, A₁B₁ = 20, AC = 5, A₁C₁ = 25, и угол A = углу A₁ = 30°. Сначала найдем коэффициент подобия (k) и площади треугольников ABC и A₁B₁C₁.

1. Найдем коэффициент подобия (k):

   Коэффициент подобия - это отношение сходственных сторон подобных треугольников. Мы можем найти его, используя известные стороны AB и A₁B₁ или AC и A₁C₁.

   \[ k = \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{20}{4} = 5 \]

   Или

   \[ k = \frac{A_1C_1}{AC} = \frac{25}{5} = 5 \]

   Таким образом, коэффициент подобия k = 5.

2. Найдем площадь треугольника ABC:

   Для нахождения площади треугольника ABC, мы можем воспользоваться формулой площади треугольника, зная две стороны и угол между ними:

   \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(A) \]

   Подставим известные значения:

   \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin(30^\circ) \]

   Так как sin(30°) = 0.5:

   \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot 0.5 = 5 \]

   Площадь треугольника ABC равна 5.

3. Найдем площадь треугольника A₁B₁C₁:

   Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

   \[ \frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = k^2 \]

   Отсюда:

   \[ S_{A_1B_1C_1} = S_{ABC} \cdot k^2 = 5 \cdot 5^2 = 5 \cdot 25 = 125 \]

   Площадь треугольника A₁B₁C₁ равна 125.

Ответ: Коэффициент подобия (k) = 5, площадь треугольника ABC = 5, площадь треугольника A₁B₁C₁ = 125

2 группа

Во второй группе нам дано, что треугольник ABC подобен треугольнику A₁B₁C₁, AC = 6, высота BH = 6, A₁B₁ = 12, высота B₁H₁ = 8. Нужно найти площади треугольников ABC и A₁B₁C₁ и коэффициент пропорциональности.

1. Найдем коэффициент подобия (k):

   В этот раз у нас нет соответственных сторон треугольников АВС и А1В1С1, поэтому чтобы его найти, нам нужно сначала найти сторону АВ. Для этого воспользуемся формулой площади треугольника.

   Площадь треугольника можно найти как половину произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

   \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18 \]
2. Далее выразим коэффициент подобия.

   Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия k:

   \[k = \frac{A_1B_1}{AB}\]

   Сторону АВ нам необходимо найти.

   Площадь треугольника A₁B₁C₁ относится к площади треугольника ABC, как квадрат коэффициента подобия:

   Чтобы найти площадь треугольника А1В1С1 нужно сначала найти сторону А1С1.

   Т.к. площади относятся как квадрат коэффициента подобия, то стороны относятся как корень из площадей:

   \[\frac{AC}{A_1C_1} = \sqrt{\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}}\]

   Но мы не знаем площадь А1В1С1.

   Т.к. у нас есть отношение стороны А1В1 к АС (из площади АВС) и высоты В1Н1 и ВН:

   \[k = \frac{A_1B_1}{AC} = \frac{12}{6} = 2\]
3. Найдем площадь треугольника A₁B₁C₁: \[S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot A_1C_1 \cdot B_1H_1 \]

   Зная коэффициент подобия, мы можем найти A₁C₁:

   \[\frac{A_1C_1}{AC} = k \Rightarrow A_1C_1 = AC \cdot k = 6 \cdot 2 = 12\]

   Теперь мы можем найти площадь A₁B₁C₁:

   \[S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48\]
4. Далее можем выразить коэффициент подобия: \[\frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = k^2 \Rightarrow \frac{48}{18} = k^2 \Rightarrow k = \sqrt{\frac{48}{18}} = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}\]

Ответ: SABC = 18, S A₁B₁C₁ = 48, k = 2√6/3

3 группа

В третьей группе нам дано, что треугольник ABC подобен треугольнику A₁B₁C₁, AC = 7, высота BH = 4, A₁B₁ = 21, высота B₁H₁ = 12. Нужно найти площади треугольников ABC и A₁B₁C₁ и коэффициент пропорциональности.

1. Найдем площадь треугольника ABC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 4 = 14 \]
2. Найдем коэффициент подобия (k):

   Отношение сходственных сторон:

   \[\frac{A_1B_1}{AB}\]

   AB не известно, выразим через отношение сторон и высот А1В1 к АС и В1Н1 к ВН. Т.к. отношение А1В1 к АС нам известно.

   Зная коэффициент подобия k, мы можем найти остальные величины

   \[k = \frac{A_1B_1}{AC} = \frac{21}{7} = 3\]
3. Найдем площадь треугольника A₁B₁C₁: \[k = \frac{B_1H_1}{BH} = \frac{12}{4} = 3\]

   A₁C₁ нам необходимо найти, т.к. площадь треугольника А1В1С1 можно найти как:

   \[ S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot A_1C_1 \cdot B_1H_1 \] \[\frac{A_1C_1}{AC} = k \Rightarrow A_1C_1 = AC \cdot k = 7 \cdot 3 = 21\] \[S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 12 = 126\]

Ответ: SABC = 14, S A₁B₁C₁ = 126, k = 3