Груз массой 25 кг висит на шнуре длиной 2,5 м. На какую наибольшую высоту можно отвести в сторону груз, чтобы при дальнейших свободных качаниях шнур не оборвался? Максимальная сила натяжения, которую выдерживает шнур не обрываясь, равна 550 Н. В задачах 357–373 сопротивление воздуха не учитывать.

json { "type": "object", "properties": { "answers": { "type": "array", "items": { "type": "object", "properties": { "question": { "type": "string", "description": "The question" }, "answer": { "type": "string", "description": "The answer" } }, "required": ["question", "answer"] } } }, "required": ["answers"] }

Дано:

Масса груза $$m = 25$$ кг

Длина шнура $$L = 2,5$$ м

Максимальная сила натяжения $$F_{max} = 550$$ Н

Ускорение свободного падения $$g \approx 10$$ м/с²

Найти: Наибольшую высоту $$h$$

Решение:

На груз, отведенный в сторону, действуют сила тяжести $$mg$$ и сила натяжения шнура $$T$$. В нижней точке траектории (где скорость максимальна) сила натяжения максимальна.

Сила натяжения в нижней точке при колебаниях равна:

$$ T = mg + \frac{mv^2}{L} $$

где $$v$$ - скорость груза в нижней точке.

Максимальная сила натяжения, которую выдерживает шнур, равна $$F_{max} = 550$$ Н. Приравниваем эту величину к максимальной силе натяжения в нижней точке:

$$ F_{max} = mg + \frac{mv_{max}^2}{L} $$

Отсюда выразим максимальную скорость $$v_{max}$$:

$$ \frac{mv_{max}^2}{L} = F_{max} - mg $$ $$ v_{max}^2 = \frac{L(F_{max} - mg)}{m} $$

Теперь найдем наибольшую высоту $$h$$, на которую можно отвести груз. По закону сохранения энергии, при отведении груза на высоту $$h$$ и последующем отпускании, его потенциальная энергия $$mgh$$ перейдет в кинетическую энергию $$E_k$$ в нижней точке:

$$ mgh = \frac{1}{2}mv_{max}^2 $$

Подставим выражение для $$v_{max}^2$$:

$$ mgh = \frac{1}{2}m \left( \frac{L(F_{max} - mg)}{m} \right) $$ $$ h = \frac{1}{2} \frac{L(F_{max} - mg)}{g} $$

Подставим числовые значения:

$$ h = \frac{1}{2} \frac{2,5 \text{ м} \cdot (550 \text{ Н} - 25 \text{ кг} 10 \text{ м/с}^2)}{10 \text{ м/с}^2} $$ $$ h = \frac{1}{2} \frac{2,5 \text{ м} \cdot (550 \text{ Н} - 250 \text{ Н})}{10 \text{ м/с}^2} $$ $$ h = \frac{1}{2} \frac{2,5 \text{ м} 300 \text{ Н}}{10 \text{ м/с}^2} $$ $$ h = \frac{1}{2} \frac{750 \text{ Дж}}{10 \text{ м/с}^2} $$ $$ h = \frac{1}{2} 75 \text{ м} $$ $$ h = 37,5 \text{ м} $$

Ответ: Наибольшая высота, на которую можно отвести груз, составляет 37,5 м.