Груз массой 400 г, подвешенный на лёгкой пружине, совершает вертикальные гармонические колебания. На сколько надо увеличить чтобы частота его свободных вертикальных колебаний на этой пру в 2 раза меньше? Ответ: на кг.

Период колебаний математического маятника (или пружинного, при определенных условиях) описывается формулой:

\[ T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} \]

где:

• \[ T \] - период колебаний
• \[ m \] - масса груза
• \[ k \] - жесткость пружины

Частота колебаний связана с периодом соотношением:

\[ f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}} \]

По условию задачи, новую частоту \[ f_2 \] нужно сделать в 2 раза меньше, чем исходную \[ f_1 \].

\[ f_2 = \frac{f_1}{2} \]

Исходная частота:

\[ f_1 = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m_1}} \]

Новая частота:

\[ f_2 = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m_2}} \]

Подставляем \[ f_2 \] в условие \[ f_2 = \frac{f_1}{2} \]:

\[ \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m_2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m_1}} \]

Сокращаем \[ \frac{1}{2 \pi} \] с обеих сторон:

\[ \sqrt{\frac{k}{m_2}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{m_1}} \]

Возводим обе части в квадрат:

\[ \frac{k}{m_2} = \frac{1}{4} \frac{k}{m_1} \]

Сокращаем \[ k \] с обеих сторон:

\[ \frac{1}{m_2} = \frac{1}{4 m_1} \]

Отсюда выражаем \[ m_2 \]:

\[ m_2 = 4 m_1 \]

Исходная масса груза \[ m_1 = 400 \text{ г} = 0.4 \text{ кг} \].

Новая масса груза \[ m_2 \] должна быть:

\[ m_2 = 4 \cdot 0.4 \text{ кг} = 1.6 \text{ кг} \]

На сколько нужно увеличить массу:

\[ \Delta m = m_2 - m_1 = 1.6 \text{ кг} - 0.4 \text{ кг} = 1.2 \text{ кг} \]

Ответ: 1.2