Груз, подвешенный на лёгкой пружине жёсткостью 32 Н/м, совершает свободные вертикальные гармонические колебания. Пружину какой жёсткости надо взять вместо этой пружины, чтобы период свободных вертикальных колебаний этого груза стал в 2,5 раза меньше?

Решение:

Период свободных колебаний груза на пружине описывается формулой:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \]

где \( T \) — период колебаний, \( m \) — масса груза, \( k \) — жёсткость пружины.

Пусть \( T_1 \) — начальный период и \( k_1 \) — начальная жёсткость пружины. Пусть \( T_2 \) — новый период и \( k_2 \) — новая жёсткость пружины.

По условию задачи:

• \( k_1 = 32 \) Н/м
• \( T_2 = \frac{T_1}{2.5} \)

Запишем формулы для начального и нового периодов:

\[ T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1}} \]\[ T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_2}} \]

Подставим \( T_2 \) в формулу:

\[ \frac{T_1}{2.5} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_2}} \]

Разделим первое уравнение на второе:

\[ \frac{T_1}{\frac{T_1}{2.5}} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1}}}{2\pi \sqrt{\frac{m}{k_2}}} \]
\[ 2.5 = \sqrt{\frac{k_2}{k_1}} \]

Возведём обе части в квадрат:

\[ 2.5^2 = \frac{k_2}{k_1} \]
\[ 6.25 = \frac{k_2}{k_1} \]

Выразим \( k_2 \):

\[ k_2 = 6.25 \cdot k_1 \]

Подставим значение \( k_1 \):

\[ k_2 = 6.25 \cdot 32 \text{ Н/м} \]
\[ k_2 = 200 \text{ Н/м} \]

Ответ: 200 Н/м.