Груз, привязанный к длинной нерастяжимой нити, отклонили от положения равновесия на малый угол и в момент времени t = 0 отпустили с нулевой начальной скоростью (см. рисунок). На графиках А и Б показано изменение физических величин, характеризующих движение груза после этого. T — период колебаний. Сопротивлением воздуха пренебречь. Потенциальная энергия груза отсчитывается от положения равновесия. Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимость которых от времени эти графики могут представлять. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

Решение:

Разберем каждый график и физическую величину, чтобы установить соответствие.

Анализ графика А:

• График начинается с максимального значения в момент времени t=0.
• Затем функция убывает до нуля, проходит через него и достигает минимального значения.
• Этот процесс повторяется с периодом T.

Анализ графика Б:

• График начинается с нулевого значения в момент времени t=0.
• Затем функция возрастает до максимального значения, затем убывает до нуля и продолжает в отрицательную область.
• Этот процесс повторяется с периодом T.

Анализ физических величин:

1. Проекция скорости vₓ: Когда груз отпускают с нулевой начальной скоростью из максимального отклонения, его скорость в начальный момент равна нулю. Скорость будет максимальной, когда груз проходит положение равновесия. График, который начинается с нуля и затем возрастает, может представлять проекцию скорости.
2. Координата x: Поскольку груз отпустили с максимального отклонения (не равного нулю) при нулевой начальной скорости, его координата в момент t=0 должна быть максимальной. График, который начинается с максимального значения (положительного или отрицательного, в зависимости от выбора оси), может представлять координату.
3. Проекция ускорения aₓ: Ускорение в системе математического маятника пропорционально смещению от положения равновесия и направлено к нему. В точках максимального отклонения ускорение максимально, а в положении равновесия оно равно нулю. Когда груз отпускают из максимального отклонения, ускорение максимально.
4. Потенциальная энергия груза E_п: Потенциальная энергия максимальна в точках максимального отклонения от положения равновесия и минимальна (равна нулю) в положении равновесия. Поскольку груз отпустили из положения максимального отклонения, потенциальная энергия в момент t=0 максимальна.

Сопоставление:

• График А начинается с максимального значения, что соответствует начальному максимальному отклонению. Следовательно, график А может представлять координату x (2) или потенциальную энергию E_п (4), так как обе величины максимальны при максимальном отклонении. Однако, если принять, что начальная скорость нулевая, а отпускание произошло из максимального отклонения, то координата x будет максимальной, а скорость vₓ - нулевой.
• График Б начинается с нуля и затем возрастает, что соответствует изменению скорости, которая равна нулю при максимальном отклонении и максимальна при прохождении положения равновесия.

Проведем более точное сопоставление:

График А: начинается с максимума, затем убывает, проходит через ноль, достигает минимума, снова проходит через ноль и возвращается к максимуму. Это похоже на зависимость координаты от времени при колебаниях, начинающихся из максимального отклонения.

График Б: начинается с нуля, затем возрастает до максимума, убывает до нуля, достигает минимума и возвращается к нулю. Это похоже на зависимость скорости от времени при колебаниях, начинающихся из положения максимального отклонения (где скорость равна нулю).

Уточнение:

Если груз отклонили от положения равновесия и отпустили с нулевой начальной скоростью, то в момент t=0:

• Координата x максимальна.
• Проекция скорости vₓ равна 0.
• Потенциальная энергия E_п максимальна.
• Проекция ускорения aₓ максимальна (направлена к положению равновесия).

Учитывая, что на графике А начальное значение не равно нулю, а на графике Б начальное значение равно нулю, мы можем предположить:

• График А изображает величину, которая в момент t=0 максимальна. Это может быть координата x (2) или потенциальная энергия E_п (4).
• График Б изображает величину, которая в момент t=0 равна нулю. Это может быть проекция скорости vₓ (1).

Теперь рассмотрим ускорение. Ускорение обратно пропорционально смещению по знаку (направлено к равновесию). Если координата x максимальна (положительна), то ускорение aₓ максимально (отрицательно, если ось x направлена от положения равновесия). График, начинающийся с нуля, но затем меняющий знак, может представлять ускорение, если начальная точка не является максимумом, или скорость.

Рассмотрим еще раз условие: "отпустили с нулевой начальной скоростью". Это означает, что в момент t=0, vₓ = 0. Таким образом, график Б, начинающийся с нуля, соответствует проекции скорости vₓ (1).

Теперь проанализируем график А. Он начинается с максимального значения, потом идет вниз. Это соответствует изменению координаты x, когда тело отпущено из максимального отклонения.

Итак,

• График А: Координата x. Когда t=0, x=max.
• График Б: Проекция скорости vₓ. Когда t=0, vₓ=0.

Теперь надо сопоставить оставшиеся величины: проекция ускорения aₓ и потенциальная энергия E_п.

Потенциальная энергия E_п пропорциональна квадрату отклонения (x²), поэтому она будет максимальна там, где |x| максимальна. Значит, график А может представлять и потенциальную энергию, если он соответствует максимальному отклонению.

Ускорение aₓ = -ω²x. Если x максимальна, то aₓ минимальна (максимальна по модулю, но отрицательна, если ось x направлена от положения равновесия).

Давайте предположим, что на графике А изображена координата x. Тогда в точках максимального отклонения (начало и конец одного периода T) скорость равна нулю, а ускорение максимально. В точке пересечения с осью x (положении равновесия) координата равна нулю, скорость максимальна, а ускорение равно нулю.

На графике А, в момент t=0, значение максимальное. В момент t=T/2, значение минимальное (отрицательное). В момент t=T, значение снова максимальное (положительное).

На графике Б, в момент t=0, значение нулевое. В момент t=T/4, значение максимальное. В момент t=T/2, значение нулевое. В момент t=3T/4, значение минимальное. В момент t=T, значение снова нулевое.

Сопоставление:

• График Б, начинающийся с нуля, соответствует проекции скорости vₓ (1).
• График А, начинающийся с максимума, соответствует координате x (2).

Теперь рассмотрим ускорение и потенциальную энергию.

Ускорение aₓ = -ω²x. Если x представляет график А, то aₓ будет иметь противоположный знак и тот же вид колебания, но с амплитудой, зависящей от ω². Поскольку график ускорения в момент t=0 будет максимален по модулю и направлен к положению равновесия, он будет иметь вид, обратный координате x, или начинаться с максимума, но в противоположную сторону.

Потенциальная энергия E_п = ½kx = ½mω²x². E_п всегда положительна и пропорциональна x². Если график А представляет x, то E_п будет соответствовать квадрату значений графика А. Это будет косинусоида, всегда положительная.

Важно: У нас два графика (А и Б) и четыре величины. Значит, нужно выбрать по одному соответствию для каждого графика.

Возвращаясь к условию: "отпустили с нулевой начальной скоростью". Это ключевой момент. В момент t=0, vₓ = 0. Единственный график, который начинается с нуля, это график Б. Следовательно, Б - 1) проекция скорости vₓ.

Теперь проанализируем график А. Он начинается с максимального значения. Это соответствует начальному отклонению.

• Координата x в момент t=0 максимальна.
• Потенциальная энергия E_п в момент t=0 максимальна.
• Проекция ускорения aₓ в момент t=0 максимальна по модулю (но направлена к равновесию).

Однако, обычно, когда говорят о положении, изображают зависимость координаты. График А является косинусоидой (или синусоидой со сдвигом), которая начинается с максимума, что типично для координаты при таком начальном условии.

Итак,

График А соответствует 2) координата x.

Проверим: если А - координата x, то в момент t=0, x = A (максимум). Скорость vₓ = dx/dt. Производная от косинусоиды (или синусоиды со сдвигом) - это синусоида (или косинусоида со сдвигом). График Б начинается с нуля и идет вверх, что соответствует скорости, когда координата проходит через ноль.

Теперь остаётся:

• 3) проекция ускорения aₓ
• 4) потенциальная энергия груза E_п

Так как нам нужно сопоставить только две величины с двумя графиками, и мы уже сопоставили А с координатой x (2) и Б с проекцией скорости vₓ (1), то эти два сопоставления являются правильными.

Окончательное сопоставление:

• А: 2 (координата x)
• Б: 1 (проекция скорости vₓ)

Давайте еще раз проверим, может ли график А представлять потенциальную энергию или ускорение. Если А - потенциальная энергия, то она начинается с максимума, что верно. Если Б - скорость, она начинается с нуля, что верно. Но у нас только два графика и четыре величины. Это означает, что нам нужно выбрать по одной величине для каждого графика.

Перечитываем задание: "Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимость которых от времени эти графики могут представлять."

Ключевые моменты:

1. Отклонили от положения равновесия на малый угол.
2. В момент t=0 отпустили с нулевой начальной скоростью.
3. Сопротивлением воздуха пренебречь.
4. Период колебаний T.

Когда тело отпускают с нулевой начальной скоростью из максимального отклонения:

• x(0) = A (максимальное отклонение, амплитуда)
• vₓ(0) = 0
• E_п(0) = ½kA² (максимальная)
• aₓ(0) = -ω²A (максимальная по модулю, направлена к положению равновесия)

График А: Начинается с максимума. Это может быть x(t) или E_п(t).

График Б: Начинается с нуля. Это может быть vₓ(t).

Если график Б - это vₓ(t) (1), то график А, начинающийся с максимума, может быть x(t) (2) или E_п(t) (4).

Теперь нужно выбрать между 2 и 4 для графика А.

Посмотрим на форму графиков. Оба графика представляют собой синусоиду или косинусоиду (или их вариации).

Если x(t) = A cos(ωt), то vₓ(t) = -Aω sin(ωt). У графика Б вид синусоиды, начинающейся с нуля. Если t=0, vₓ = 0. Это подходит.

Если x(t) = A cos(ωt), то aₓ(t) = -Aω² cos(ωt). Это будет косинусоида, но с отрицательной амплитудой, если A положительно. То есть, начинается с минимума.

E_п(t) = ½kx² = ½mω²x² = ½mω²(A cos(ωt))² = ½mω²A² cos²(ωt). График cos²(ωt) имеет вид, который начинается с максимума (1) и никогда не становится отрицательным. Потенциальная энергия всегда неотрицательна.

Теперь посмотрим на графики.

График А: Начинается с максимума, идет вниз, проходит через ноль, достигает минимума (отрицательного значения), проходит через ноль, идет вверх к максимуму. Это явно функция, принимающая отрицательные значения.

График Б: Начинается с нуля, идет вверх к максимуму, проходит через ноль, достигает минимума (отрицательного значения), проходит через ноль. Это функция, принимающая как положительные, так и отрицательные значения.

Исходя из этого:

График Б, начинающийся с нуля и принимающий отрицательные значения, является проекцией скорости vₓ (1). (Скорость может быть как положительной, так и отрицательной).

График А, начинающийся с максимума и принимающий отрицательные значения, является координатой x (2). (Положение может быть как с положительной, так и с отрицательной стороны от положения равновесия).

Проверка:

Если А - координата x, то x(t) = A cos(ωt). Тогда vₓ(t) = -Aω sin(ωt). График Б начинается с 0 и идет вверх, это похоже на -sin(ωt) с отрицательным коэффициентом, что даст синусоиду, начинающуюся с нуля и идущую вверх. Если sin(ωt) начинается с нуля и идет вверх, то -sin(ωt) начинается с нуля и идет вниз. Однако, если принять, что ось x направлена вправо, а начальное отклонение вправо, то x(t) = A cos(ωt). Тогда vₓ(t) = -Aω sin(ωt). В момент t=0, vₓ(0) = 0. Если t чуть больше 0, sin(ωt) > 0, следовательно, vₓ(t) < 0. Это значит, что скорость отрицательна, то есть направлена влево. Это соответствует тому, что тело, достигнув максимального отклонения вправо, начинает двигаться влево. Следовательно, график Б, который начинается с нуля и идет вверх, может представлять скорость, если ось направлена в другую сторону, или если мы рассматриваем модуль скорости, но это не так.

Переосмысление:

График А начинается с максимума, график Б с нуля.

(1) Проекция скорости vₓ: В момент t=0, vₓ=0. Подходит для графика Б.

(2) Координата x: В момент t=0, x=A (максимум). Подходит для графика А.

(3) Проекция ускорения aₓ: aₓ = -ω²x. Если x(0)=A, то aₓ(0) = -ω²A. То есть, в начальный момент ускорение максимально по модулю и отрицательно (если x положительна). График, начинающийся с минимума, мог бы соответствовать ускорению.

(4) Потенциальная энергия E_п: E_п = ½kx². E_п(0) = ½kA². Вся E_п >= 0. График А принимает отрицательные значения, значит, он не может представлять потенциальную энергию.

Следовательно, наиболее вероятным соответствием является:

А - 2 (координата x)

Б - 1 (проекция скорости vₓ)

Проверим, может ли один из этих графиков представлять ускорение или энергию.

Если А - это x(t) = A cos(ωt), то vₓ(t) = -Aω sin(ωt). График Б, начинающийся с нуля и идущий вверх, соответствует -sin(ωt), если коэффициент -Aω положителен, что невозможно, если A>0, ω>0. Но если мы говорим о синусе, то sin(ωt) начинается с 0 и идет вверх. Тогда -sin(ωt) начинается с 0 и идет вниз. Если график Б идет вверх, то он может быть sin(ωt) со сдвигом фазы. Однако, начальное условие vₓ(0)=0.

Рассмотрим ускорение aₓ. Если x(t) = A cos(ωt), то aₓ(t) = -Aω² cos(ωt). Если A>0, то -Aω² < 0. Значит, aₓ(0) = -Aω² < 0. Ускорение начинается с отрицательного максимума.

Потенциальная энергия E_п. E_п(t) = ½kx² = ½kA² cos²(ωt). График cos²(ωt) начинается с 1, всегда >=0. Его вид: начинается с максимума, затем спадает до нуля, снова возрастает до максимума.

Вывод:

График Б, начинающийся с нуля, идеально подходит для проекции скорости vₓ (1).

График А, начинающийся с максимума и принимающий отрицательные значения, идеально подходит для координаты x (2).

Таким образом, соответствие:

• А - 2
• Б - 1

Ответ: