Грузы массами M и m = 1 кг связаны лёгкой нерастяжимой нитью, переброшенной через блок, по которому нить может скользить без трения (см. рис.). Груз массой M находится на шероховатой наклонной плоскости с углом наклона к горизонту α = 30°, коэффициент трения μ = 0,2. Чему равно минимальное значение массы M, при котором система грузов ещё не выходит из первоначального состояния покоя? Какие законы используются для описания равновесия тел? Обоснуйте их применение к данному случаю.

Для состояния покоя ускорение каждого груза равно нулю. Так как нить невесома и скользит по блоку без трения, натяжение нити одинаково на всём её протяжении.

Для подвешенного груза: \(T=mg\).

Минимальная масса \(M\) соответствует предельному случаю, когда груз на наклонной плоскости начинает скользить вниз. Поэтому сила трения направлена вверх и достигает максимального значения:

\[F_{\text{тр}}=\mu N=\mu Mg\cos\alpha.\]

Условие равновесия груза \(M\) вдоль наклонной плоскости:

\[T+F_{\text{тр}}=Mg\sin\alpha.\]

Подставляя \(T=mg\), получаем:

\[mg+\mu Mg\cos\alpha=Mg\sin\alpha,\]

\[M=\frac{m}{\sin\alpha-\mu\cos\alpha}.\]

При \(m=1\) кг, \(\alpha=30^\circ\), \(\mu=0.2\):

\[M=\frac{1}{0.5-0.2\cdot\frac{\sqrt3}{2}}\approx\frac{1}{0.3268}\approx3.06\text{ кг}.\]

Ответ: \(M_{\min}\approx3.1\) кг.

Используются второй закон Ньютона в форме условия равновесия \(\sum\vec F=0\), закон сухого трения \(F_{\text{тр}}\leq\mu N\) и свойство невесомой нити при отсутствии трения в блоке: натяжение нити одинаково на всех участках.