Г-8 С/работа «Касательная к окружности» Вариант 2 1. Найдите отрезки касательных АВ и АС, проведенных из точки А к окружности радиуса, если г = 9 см, ∠BOC = 120°. 2. Прямая АВ касается окружности с центром О и радиусом 15 см в точке В. Найдите АВ, если ОА-17см. 3. Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ (В и А- точки касания). Найдите АМ и ВМ, если ZAMB = 60°, OM = 10 см.

Задание 1

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о свойствах касательных к окружности и углах, связанных с окружностью.

• Касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны между собой: AB = AC.
• Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Рассмотрим четырёхугольник ABOC. Сумма углов в четырёхугольнике равна 360°. Углы OBA и OCA прямые (90°), так как радиусы OB и OC проведены в точки касания.

Следовательно, угол BAC = 360° - 90° - 90° - 120° = 60°.

Рассмотрим треугольник ABC. Так как AB = AC, то треугольник ABC равнобедренный, и углы при основании равны: ∠ABC = ∠ACB = (180° - 60°) / 2 = 60°. Значит, треугольник ABC равносторонний.

В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому AB = AC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO (∠OBA = 90°). В этом треугольнике OB = 9 см (радиус), а угол BAO = 30° (половина угла BAC).

Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы: OB = 1/2 AO, следовательно, AO = 2 * OB = 18 см.

Теперь можно найти AB по теореме Пифагора:

\[AB = \sqrt{AO^2 - OB^2} = \sqrt{18^2 - 9^2} = \sqrt{324 - 81} = \sqrt{243} = 9\sqrt{3} \approx 15.59 \text{ см}.\]

Так как AB = AC, то и AC = 9\sqrt{3} см.

Ответ: AB = AC = 9\sqrt{3} см.

Задание 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO, где O - центр окружности, B - точка касания, и A - точка вне окружности.

• OB - радиус окружности, OB = 15 см.
• OA = 17 см.
• Угол OBA - прямой (90°), так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABO: AB² + OB² = OA².

Подставим известные значения: AB² + 15² = 17².

\[ AB^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64 \] \[ AB = \sqrt{64} = 8 \text{ см} \]

Ответ: AB = 8 см.

Задание 3

По условию, из точки M к окружности с центром O проведены касательные MA и MB, где A и B - точки касания. Угол AMB = 60° и OM = 10 см. Нужно найти AM и BM.

• Касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны между собой: MA = MB.
• Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Рассмотрим треугольники OMA и OMB. Они прямоугольные (∠MAO = ∠MBO = 90°) и равны, так как MA = MB, OA = OB (радиусы) и OM - общая сторона.

Угол AMO = BMO = 60° / 2 = 30°.

В прямоугольном треугольнике OMA катет OA (радиус) лежит против угла в 30°. Следовательно, OA = 1/2 OM, и OA = 10 / 2 = 5 см.

Теперь можно найти AM по теореме Пифагора:

\[AM = \sqrt{OM^2 - OA^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \approx 8.66 \text{ см}.\]

Так как MA = MB, то и MB = 5\sqrt{3} см.

Ответ: AM = BM = 5\sqrt{3} см.