Х Г7 № 25 ДЗ (10) 1. Используя рисунок, укажите верные утвержде- ния: 1) PN - биссектриса треугольника МРК. 2) PN - высота треугольника МРК. 3) ЕК - биссектриса треугольника DEC. 4) BM – медиана треугольника CBD. 5) ВМ - биссектриса треугольника CBD. 2. Треугольник POR - равнобедренный с основа- нием PR. Чему равен ∠1, если ∠2 = 42°? 3. Луч КС - биссектриса угла DKB, а отрезок DK равен отрезку ВК. Докажите, что ΔKDC- ΔKВС. 4. На основании NK равнобедренного треугольника NDK отложены отрезки NA - КС. Докажите, что ∠NBA=∠KBC.

1. Рассмотрим рисунок и определим верные утверждения:

• PN - биссектриса треугольника MPK - верно, так как угол NPK равен углу NPM.
• PN - высота треугольника MPK - неверно, так как угол PNE не прямой (не равен 90 градусам).
• ЕК - биссектриса треугольника DEC - верно, так как угол DEK равен углу KEC.
• BM - медиана треугольника CBD - верно, так как отрезок DM=MC.
• ВМ - биссектриса треугольника CBD - неверно, так как угол CBM не равен углу MBD.

2. Так как треугольник POR равнобедренный с основанием PR, то углы при основании равны: ∠1 = ∠R.

Сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно:

∠1 + ∠2 + ∠R = 180°

∠1 + 42° + ∠1 = 180°

2∠1 = 180° - 42°

2∠1 = 138°

∠1 = 138° / 2

∠1 = 69°

3. Дано: КС - биссектриса угла DKB, DK = ВК.

Доказать: ΔKDC = ΔKВС.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ΔKDC и ΔKВС.

• КС - общая сторона.
• ∠DKC = ∠BKC, так как КС - биссектриса угла DKB.
• DK = ВК (по условию).

Следовательно, ΔKDC = ΔKВС по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

4. Дано: NK - основание равнобедренного треугольника NDK, NA = КС.

Доказать: ∠NBA = ∠KBC.

Доказательство:

Так как ΔNDK равнобедренный, то DN = DK и ∠DNK = ∠DKN.

∠DNA = ∠DKC (смежные с равными углами).

Рассмотрим треугольники ΔDNA и ΔDKC:

• DN = DK (из равнобедренности ΔNDK)
• ∠DNA = ∠DKC (как смежные с равными углами)
• NA = КС (по условию)

Следовательно, ΔDNA = ΔDKC по первому признаку равенства треугольников.

Отсюда следует, что DA = DC и ∠NDA = ∠KCD.

Так как ∠NDK = ∠DKN, то ∠NDA + ∠ADK = ∠KCD + ∠CKN.

∠NBA = ∠KBC, так как ΔKDC = ΔKВС, DA = DC и ∠NDA = ∠KCD.

Ответ:

• верные утверждения: 1, 3, 4;
• ∠1 = 69°;
• ΔKDC = ΔKВС;
• ∠NBA = ∠KBC.