Ha 4 Даны два прямоугольных треугольника ДАВС, ДВКС. СВ - биссектриса угла С. Докажите, что ДАВС = ∆ ВКС. Прямые РТ и КМ пересекаются в точке О так, что РО=OM, <PKO = <MTO = 90°. Докажите, что РК-МТ.

Задача 1

Даны два прямоугольных треугольника \(\triangle ABC\) и \(\triangle BKC\), где CB - биссектриса угла C. Докажите, что \(\triangle ABC = \triangle BKC\).

Решение:

1. Рассмотрим треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle BKC\).
2. \(\angle ACB = \angle BCK\), так как CB - биссектриса угла C.
3. \(CB\) - общая сторона для обоих треугольников.
4. \(\angle BAC = \angle BKC = 90^{\circ}\), так как оба треугольника прямоугольные.
5. Таким образом, \(\triangle ABC = \triangle BKC\) по гипотенузе и острому углу (второй признак равенства прямоугольных треугольников).

Ответ: Треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle BKC\) равны.

Задача 2

Прямые PT и KM пересекаются в точке O так, что PO = OM, \(\angle PKO = \angle MTO = 90^{\circ}\). Докажите, что PK = MT.

Решение:

1. Рассмотрим треугольники \(\triangle PKO\) и \(\triangle MTO\).
2. \(PO = OM\) (по условию).
3. \(\angle PKO = \angle MTO = 90^{\circ}\) (по условию).
4. \(\angle POK = \angle MOT\) (как вертикальные углы).
5. Таким образом, \(\triangle PKO = \triangle MTO\) по стороне и двум прилежащим углам (второй признак равенства треугольников).
6. Следовательно, \(PK = MT\) (как соответственные стороны равных треугольников).

Ответ: PK = MT, что и требовалось доказать.