138 Ha рисунке 75 AB=CD и BD = АС. Докажите, что: a) ∠CAD = ∠ADB; 6) ∠BAC = ∠CDB.

Для решения данной задачи необходимо рассмотреть рисунок 75.

К сожалению, без дополнительных сведений о фигуре на рисунке 75 (например, является ли она трапецией, параллелограммом и т.д.) и информации о взаимном расположении точек, строго доказать равенство углов не представляется возможным. Примем за условие, что ABCD - равнобедренная трапеция.

a) Докажем, что ∠CAD = ∠ADB.

Предположим, что ABCD - равнобедренная трапеция, где AB и CD - основания, а AD и BC - боковые стороны.

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, то есть ∠BAD = ∠CDA.

Рассмотрим треугольники ABD и DCA:

AB = CD (по условию)

BD = AC (по условию)

AD - общая сторона.

Следовательно, треугольники ABD и DCA равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, то есть ∠ADB = ∠DAC, что и требовалось доказать.

б) Докажем, что ∠BAC = ∠CDB.

Так как треугольники ABD и DCA равны (как доказано в пункте а), то ∠ABD = ∠DCA.

Рассмотрим углы ∠BAD и ∠CDA. Мы знаем, что ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD и ∠CDA = ∠CDB + ∠ADB.

Так как ∠BAD = ∠CDA (углы при основании равнобедренной трапеции) и ∠CAD = ∠ADB (доказано в пункте а), то ∠BAC = ∠CDB.

Ответ: Углы равны, если ABCD - равнобедренная трапеция.