4) Hantu m min y = x²³-3x²+2 y = 5) Найти наим. знач y=7+12x-x³ 6) Найти т max y=-=-= x√x +3x+1 14) Фля возраст XE-00; 10[1;+00) ОФ-я убыв x∈ [11] X

Задача 4: Найти m min. y = x³ - 3x² + 2

1. Находим первую производную функции:

\[ y' = 3x^2 - 6x \]

2. Приравниваем производную к нулю и находим критические точки:

\[ 3x^2 - 6x = 0 \]

\[ 3x(x - 2) = 0 \]

\[ x_1 = 0, \quad x_2 = 2 \]

3. Находим вторую производную функции:

\[ y'' = 6x - 6 \]

4. Проверяем критические точки на минимум:

Для x = 0:

\[ y''(0) = 6(0) - 6 = -6 < 0 \] => x = 0 - точка максимума

Для x = 2:

\[ y''(2) = 6(2) - 6 = 6 > 0 \] => x = 2 - точка минимума

5. Вычисляем значение функции в точке минимума:

\[ y(2) = (2)^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2 \]

Задача 5: Найти наим. знач. y = 7 + 12x - x³

1. Находим первую производную функции:

\[ y' = 12 - 3x^2 \]

2. Приравниваем производную к нулю и находим критические точки:

\[ 12 - 3x^2 = 0 \]

\[ 3x^2 = 12 \]

\[ x^2 = 4 \]

\[ x_1 = 2, \quad x_2 = -2 \]

3. Находим вторую производную функции:

\[ y'' = -6x \]

4. Проверяем критические точки:

Для x = 2:

\[ y''(2) = -6(2) = -12 < 0 \] => x = 2 - точка максимума

Для x = -2:

\[ y''(-2) = -6(-2) = 12 > 0 \] => x = -2 - точка минимума

5. Вычисляем значение функции в точке минимума:

\[ y(-2) = 7 + 12(-2) - (-2)^3 = 7 - 24 + 8 = -9 \]

Задача 6: Найти m max. y = -2/3 x√x + 3x + 1

1. Находим первую производную функции:

\[ y = -\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + 3x + 1 \]

\[ y' = -\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 = -\sqrt{x} + 3 \]

2. Приравниваем производную к нулю и находим критические точки:

\[ -\sqrt{x} + 3 = 0 \]

\[ \sqrt{x} = 3 \]

\[ x = 9 \]

3. Находим вторую производную функции:

\[ y'' = -\frac{1}{2\sqrt{x}} \]

4. Проверяем критическую точку:

\[ y''(9) = -\frac{1}{2\sqrt{9}} = -\frac{1}{6} < 0 \] => x = 9 - точка максимума

5. Вычисляем значение функции в точке максимума:

\[ y(9) = -\frac{2}{3} (9) \sqrt{9} + 3(9) + 1 = -\frac{2}{3} (9)(3) + 27 + 1 = -18 + 27 + 1 = 10 \]

Задача 4 (справа): Ф-я возраст. x ∈ (-∞; 1/3] ∪ [1; +∞) Ф-я убыв. x ∈ [1/3; 1]

Интервалы возрастания и убывания функции определены правильно на основе знака производной функции.