Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика390 Haйдите высоты треугольника со сторонами 10 см, 10 см и 12 см. 591 Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 24 см. 592 Найдите диагональ и площадь ромба, если его сторона равна 10 см, а другая диагональ 12 см. 593 Найдите площадь трапеции АBCD с основаниями АВ и CD, если: а) AB=10 см, BC = DA = 13 см, CD = 20 см; б) ∠C=∠D= ≥60°, АВ = BC = 8 см; в) ∠C=∠D=45°, АВ = 6 см, ВС = 9√2 см. 594 Основание D высоты CD треугольника АВС лежит на стороне АВ, причём AD = BC. Найдите АС, если AB = 3, а CD = √3. 595 Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой. Найдите эту диагональ, если периметр параллелограмма ра- вен 50 см, а разность смежных сторон равна 1 см. 596 Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны выражаются числами: а) 6, 8, 10; б) 5, 6, 7; в) 9, 12, 15; г) 10, 24, 26; д) 3, 4, 6; е) 11, 9, 13; ж) 15, 20, 25. В каж- дом случае ответ обоснуйте. 597 Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами, равны- ми: а) 24 см, 25 см, 7 см; б) 15 см, 17 см, 8 см. 598 В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а бо- ковая сторона равна 13 см. Найдите радиус окружности, впи- санной в этот треугольник.
Ответ:
Задача 590
Найдите высоты треугольника со сторонами 10 см, 10 см и 12 см.
Это равнобедренный треугольник. Опустим высоту на основание (сторону 12 см). Она также будет медианой. Получим два прямоугольных треугольника с гипотенузой 10 см и катетом 6 см (половина основания). Высоту можно найти по теореме Пифагора:
\[h^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64\] \[h = \sqrt{64} = 8 \text{ см}\]Теперь найдем площадь треугольника:
\[S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48 \text{ см}^2\]Чтобы найти высоты, опущенные на боковые стороны, используем формулу площади:
\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a\] \[48 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h_a\] \[h_a = \frac{2 \cdot 48}{10} = \frac{96}{10} = 9.6 \text{ см}\]Так как треугольник равнобедренный, высоты, опущенные на боковые стороны, равны.
Ответ: Высота, опущенная на основание, равна 8 см; высоты, опущенные на боковые стороны, равны 9.6 см.
Задача 591
Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 24 см.
Диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам. Таким образом, они образуют четыре прямоугольных треугольника. Сторона ромба является гипотенузой такого треугольника с катетами 5 см и 12 см. По теореме Пифагора:
\[a^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\] \[a = \sqrt{169} = 13 \text{ см}\]Площадь ромба можно найти как половину произведения диагоналей:
\[S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120 \text{ см}^2\]Ответ: Сторона ромба равна 13 см, площадь ромба равна 120 см².
Задача 592
Найдите диагональ и площадь ромба, если его сторона равна 10 см, а другая диагональ равна 12 см.
Пусть сторона ромба равна a = 10 см, а одна из диагоналей d₁ = 12 см. Диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Тогда половина второй диагонали d₂/2 может быть найдена по теореме Пифагора:
\[(\frac{d_2}{2})^2 = a^2 - (\frac{d_1}{2})^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64\] \[\frac{d_2}{2} = \sqrt{64} = 8 \text{ см}\] \[d_2 = 2 \cdot 8 = 16 \text{ см}\]Площадь ромба можно найти как половину произведения диагоналей:
\[S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96 \text{ см}^2\]Ответ: Вторая диагональ равна 16 см, площадь ромба равна 96 см².
Задача 593
Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями AB и CD, если:
а) AB = 10 см, BC = DA = 13 см, CD = 20 см
Трапеция равнобокая. Опустим высоты из вершин B и A на основание CD. Получим два прямоугольных треугольника и прямоугольник. Разница между CD и AB равна 20 - 10 = 10 см. Эта разница делится пополам между двумя прямоугольными треугольниками, поэтому каждый катет равен 5 см. Высоту найдем по теореме Пифагора:
\[h^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144\] \[h = \sqrt{144} = 12 \text{ см}\]Площадь трапеции:
\[S = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{10 + 20}{2} \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180 \text{ см}^2\]Ответ: Площадь трапеции равна 180 см².
б) ∠C = ∠D = 60°, AB = BC = 8 см
Трапеция равнобокая. Опустим высоты из вершин B и A на основание CD. Рассмотрим прямоугольный треугольник с углом 60°. Тогда второй угол равен 30°. Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Гипотенуза равна BC = 8 см, поэтому катет равен 4 см. Высоту найдем по теореме Пифагора:
\[h^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48\] \[h = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ см}\]Найдем CD. CD = AB + 2 \cdot 4 = 8 + 8 = 16 см. Площадь трапеции:
\[S = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{8 + 16}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 12 \cdot 4\sqrt{3} = 48\sqrt{3} \text{ см}^2\]Ответ: Площадь трапеции равна 48\sqrt{3} см².
в) ∠C = ∠D = 45°, AB = 6 см, BC = 9√2 см
Трапеция равнобокая. Опустим высоты из вершин B и A на основание CD. Рассмотрим прямоугольный треугольник с углом 45°. Тогда второй угол равен 45°, значит, треугольник равнобедренный. Высота равна катету. Катет найдем по теореме Пифагора:
\[(9\sqrt{2})^2 = h^2 + h^2 = 2h^2\] \[162 = 2h^2\] \[h^2 = 81\] \[h = 9 \text{ см}\]Найдем CD. CD = AB + 2 \cdot 9 = 6 + 18 = 24 см. Площадь трапеции:
\[S = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{6 + 24}{2} \cdot 9 = 15 \cdot 9 = 135 \text{ см}^2\]Ответ: Площадь трапеции равна 135 см².
Задача 594
Основание D высоты CD треугольника ABC лежит на стороне AB, причём AD = BC. Найдите AC, если AB = 3, а CD = √3.
Пусть AD = BC = x. Тогда DB = AB - AD = 3 - x. Рассмотрим прямоугольный треугольник CDB. По теореме Пифагора:
\[BC^2 = CD^2 + DB^2\] \[x^2 = (\sqrt{3})^2 + (3 - x)^2\] \[x^2 = 3 + 9 - 6x + x^2\] \[6x = 12\] \[x = 2\]Значит, AD = 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник CDA. По теореме Пифагора:
\[AC^2 = AD^2 + CD^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7\] \[AC = \sqrt{7}\]Ответ: AC = \sqrt{7}.
Задача 595
Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой. Найдите эту диагональ, если периметр параллелограмма равен 50 см, а разность смежных сторон равна 1 см.
Пусть стороны параллелограмма a и b, где a > b. Тогда a - b = 1 см. Периметр равен 2(a + b) = 50 см, значит a + b = 25 см. Решим систему уравнений:
\[\begin{cases} a - b = 1 \\ a + b = 25 \end{cases}\]Сложим уравнения: 2a = 26, a = 13 см. Тогда b = 25 - 13 = 12 см.
Так как диагональ является высотой, параллелограмм является прямоугольником. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный сторонами a и b, и диагональю d. Тогда диагональ d является высотой, опущенной на сторону a. Площадь параллелограмма равна S = a \cdot b = 13 \cdot 12 = 156 \text{ см}^2.
Диагональ d образует прямоугольный треугольник со сторонами a и b. По теореме Пифагора, d будет стороной b:
Значит, диагональ равна 12 см.
Ответ: Диагональ равна 12 см.
Задача 596
Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны выражаются числами:
Для того чтобы проверить, является ли треугольник прямоугольным, воспользуемся теоремой Пифагора: a² + b² = c², где c - гипотенуза (самая длинная сторона).
а) 6, 8, 10
\[6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\] \[10^2 = 100\]Треугольник прямоугольный.
б) 5, 6, 7
\[5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61\] \[7^2 = 49\]Треугольник не прямоугольный.
в) 9, 12, 15
\[9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\] \[15^2 = 225\]Треугольник прямоугольный.
г) 10, 24, 26
\[10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676\] \[26^2 = 676\]Треугольник прямоугольный.
д) 3, 4, 6
\[3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\] \[6^2 = 36\]Треугольник не прямоугольный.
е) 11, 9, 13
\[11^2 + 9^2 = 121 + 81 = 202\] \[13^2 = 169\]Треугольник не прямоугольный.
ж) 15, 20, 25
\[15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625\] \[25^2 = 625\]Треугольник прямоугольный.
Ответ: Прямоугольными являются треугольники со сторонами: а) 6, 8, 10; в) 9, 12, 15; г) 10, 24, 26; ж) 15, 20, 25.
Задача 597
Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами, равными:
а) 24 см, 25 см, 7 см
Проверим, является ли треугольник прямоугольным: 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25². Значит, треугольник прямоугольный. Меньшая высота - это катет, опущенный на гипотенузу, то есть высота, проведённая к стороне 25 см.
Площадь треугольника равна половине произведения катетов:
\[S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 24 = 84 \text{ см}^2\]Высота, опущенная на гипотенузу:
\[h = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 84}{25} = \frac{168}{25} = 6.72 \text{ см}\]Ответ: Меньшая высота равна 6.72 см.
б) 15 см, 17 см, 8 см
Проверим, является ли треугольник прямоугольным: 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17². Значит, треугольник прямоугольный. Меньшая высота - это катет, опущенный на гипотенузу, то есть высота, проведённая к стороне 17 см.
Площадь треугольника равна половине произведения катетов:
\[S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 60 \text{ см}^2\]Высота, опущенная на гипотенузу:
\[h = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 60}{17} = \frac{120}{17} \approx 7.06 \text{ см}\]Ответ: Меньшая высота равна \(\frac{120}{17}\) см (примерно 7.06 см).
Задача 598
В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона равна 13 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Найдем высоту, опущенную на основание:
\[h^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144\] \[h = \sqrt{144} = 12 \text{ см}\]Площадь треугольника:
\[S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60 \text{ см}^2\]Полупериметр треугольника:
\[p = \frac{10 + 13 + 13}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ см}\]Радиус вписанной окружности:
\[r = \frac{S}{p} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \text{ см}\]Ответ: Радиус вписанной окружности равен \(\frac{10}{3}\) см (\(3\frac{1}{3}\) см).
Ответ: смотри решения выше
Ты отлично поработал, решив все эти задачи! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!
