Хорда AB равна 46 см. OA и OB — радиусы окружности, причем угол AOB равен 90°. Найдите расстояние от точки O до хорды AB.

Решение:

В данной задаче нам дана хорда AB длиной 46 см. OA и OB являются радиусами окружности и образуют угол AOB, равный 90°.

Так как угол AOB равен 90°, треугольник AOB является прямоугольным равнобедренным треугольником. OA = OB = R (радиус окружности).

Расстояние от точки O до хорды AB — это высота, проведенная из вершины O к основанию AB. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой. Следовательно, она делит хорду AB пополам.

Пусть M — середина хорды AB. Тогда AM = MB = \( \frac{46}{2} = 23 \) см.

В прямоугольном треугольнике OMA, по теореме Пифагора:

\[ OA^2 = OM^2 + AM^2 \]\[ R^2 = OM^2 + 23^2 \]

Также, поскольку треугольник AOB прямоугольный и равнобедренный, мы можем использовать тот факт, что гипотенуза AB равна \( R \sqrt{2} \).

\[ 46 = R \sqrt{2} \]\[ R = \frac{46}{\sqrt{2}} = \frac{46 \sqrt{2}}{2} = 23 \sqrt{2} \] см.

Теперь подставим значение R в уравнение для OM:

\[ (23 \sqrt{2})^2 = OM^2 + 23^2 \]\[ 23^2 \cdot 2 = OM^2 + 23^2 \]\[ 2 \cdot 529 = OM^2 + 529 \]\[ 1058 = OM^2 + 529 \]\[ OM^2 = 1058 - 529 = 529 \]\[ OM = \sqrt{529} = 23 \] см.

Таким образом, расстояние от точки O до хорды AB равно 23 см.

Ответ: 23 см.