Хорда АВ одной окружности касается другой окружности с тем же центром (рис. 7). Докажите, что точка касания делит хорду пополам.

Решение:

• Рассмотрим две концентрические окружности с центром O. Хорда AB внешней окружности касается внутренней окружности в точке K.
• Проведем радиус OK внутренней окружности к точке касания K. По свойству касательной, радиус OK перпендикулярен хорде AB.
• Таким образом, OK является высотой в треугольнике AOB, проведенной из вершины O к основанию AB.
• Треугольник AOB является равнобедренным, так как OA и OB — радиусы внешней окружности (OA = OB).
• В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, точка K делит основание AB пополам.
• Таким образом, AK = KB.

Что и требовалось доказать.