Хорда АВ равна 46 см. ОА и ОВ — радиусы окружности, причем угол АОВ равен 90°. Найдите расстояние от точки О до хорды АВ. Выберите правильный ответ: 17 см 30 см 23 см 27 см

Решение:

Это задача по геометрии, нужно найти расстояние от центра окружности (точки О) до хорды АВ. Нам дано, что хорда АВ = 46 см, а угол АОВ = 90°.

Поскольку угол АОВ равен 90°, треугольник АОВ — прямоугольный. ОА и ОВ — это радиусы окружности. В прямоугольном треугольнике АОВ, ОА = ОВ (радиусы).

Расстояние от точки О до хорды АВ — это высота, проведенная из вершины прямого угла О к гипотенузе АВ. Обозначим точку пересечения этой высоты с хордой АВ как М. Тогда ОМ — искомое расстояние.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике (ОА = ОВ) высота, проведенная из вершины прямого угла, является также и медианой. Это значит, что точка М делит хорду АВ пополам:

• \[ AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{46}{2} = 23 \text{ см} \]

Также в равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы:

• \[ OM = \frac{AB}{2} = \frac{46}{2} = 23 \text{ см} \]

Альтернативный подход:

Можно использовать теорему Пифагора. Пусть радиус равен R. Тогда OA = OB = R. В прямоугольном треугольнике АОВ:

• \[ OA^2 + OB^2 = AB^2 \]
• \[ R^2 + R^2 = 46^2 \]
• \[ 2R^2 = 46^2 \]
• \[ R^2 = \frac{46^2}{2} \]
• \[ R = \frac{46}{\sqrt{2}} = \frac{46\sqrt{2}}{2} = 23\sqrt{2} \text{ см} \]

Теперь найдем высоту ОМ. В прямоугольном треугольнике АМO:

• \[ OA^2 = OM^2 + AM^2 \]
• \[ (23\sqrt{2})^2 = OM^2 + 23^2 \]
• \[ 23^2 \times 2 = OM^2 + 23^2 \]
• \[ 2 \times 23^2 - 23^2 = OM^2 \]
• \[ OM^2 = 23^2 \]
• \[ OM = 23 \text{ см} \]

Оба метода дают один и тот же результат.

Ответ: 23 см