Хорда, перпендикулярная диаметру, делит его на отрезки, разность которых равна 7 см. Найдите радиус окружности, если длина хорды равна 24 см.

Решение:

Пусть хорда AB перпендикулярна диаметру CD в точке M. Хорда делит диаметр на два отрезка, обозначим их как $$x$$ и $$x+7$$. Тогда диаметр $$CD = x + (x+7) = 2x+7$$. Радиус $$R = \frac{CD}{2} = \frac{2x+7}{2} = x + 3.5$$.

Длина хорды $$AB = 24$$ см. Так как хорда перпендикулярна диаметру, она делится диаметром пополам: $$AM = MB = \frac{24}{2} = 12$$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AMC. В нем $$AC = R$$ (радиус), $$AM = 12$$ см, а $$MC$$ - это один из отрезков, на которые хорда делит диаметр. Пусть $$MC = x$$. Тогда $$MD = x+7$$.

Из теоремы о хорде и диаметре, если хорда перпендикулярна диаметру, то выполняется соотношение: $$AM^2 = MC \cdot MD$$.

Подставляем известные значения:

\[ 12^2 = x(x+7) \]

\[ 144 = x^2 + 7x \]

\[ x^2 + 7x - 144 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение:

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-144) = 49 + 576 = 625 \). \( \sqrt{D} = 25 \).

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-7 + 25}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]

\[ x_2 = \frac{-7 - 25}{2} = \frac{-32}{2} = -16 \]

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, то $$x = 9$$ см.

Теперь найдем радиус окружности:

$$R = x + 3.5 = 9 + 3.5 = 12.5$$ см.

Проверка:

Диаметр = $$2R = 2 \cdot 12.5 = 25$$ см.

Отрезки диаметра: $$x = 9$$ см и $$x+7 = 9+7 = 16$$ см. $$9 + 16 = 25$$ см (совпадает с диаметром).

Разность отрезков: $$16 - 9 = 7$$ см (совпадает с условием).

По теореме Пифагора в треугольнике AMC: $$R^2 = AM^2 + MC^2$$.

\[ 12.5^2 = 12^2 + 9^2 \]

\[ 156.25 = 144 + 81 \]

\[ 156.25 = 225 \]

Ошибка в рассуждении. В прямоугольном треугольнике AMC, $$AC$$ - это гипотенуза (радиус R), $$AM = 12$$ (половина хорды), а $$MC$$ - это один из отрезков диаметра. Отрезок MC равен $$R - x$$, если точка M ближе к одному концу диаметра, или $$x - R$$, если ближе к другому. Если диаметр CD, то точка M находится между C и D. Если R - радиус, то диаметр = 2R. Отрезки, на которые хорда делит диаметр, равны $$R-d$$ и $$R+d$$, где d - расстояние от центра до хорды. Разность этих отрезков: $$(R+d) - (R-d) = 2d$$.

По условию, разность отрезков равна 7 см. Значит, $$2d = 7$$, откуда $$d = 3.5$$ см. Это расстояние от центра до хорды.

Теперь применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, образованному радиусом (гипотенуза), половиной хорды и расстоянием от центра до хорды:

\[ R^2 = (\frac{AB}{2})^2 + d^2 \]

\[ R^2 = 12^2 + (3.5)^2 \]

\[ R^2 = 144 + 12.25 \]

\[ R^2 = 156.25 \]

\[ R = \sqrt{156.25} = 12.5 \]

Итак, радиус окружности равен 12.5 см.

Ответ: 12.5 см.