Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке E, AE = 4 см, BE = 9 см, а отрезок CE в 4 раза меньше отрезка DE. Найдите отрезки CE и DE.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся свойством пересекающихся хорд в окружности. Произведение отрезков, на которые делится одна хорда, равно произведению отрезков, на которые делится другая хорда.

Для хорды AB: \( AE \cdot EB = 4 \text{ см} \cdot 9 \text{ см} = 36 \text{ см}^2 \).

Для хорды CD: \( CE \cdot ED \).

По условию задачи, \( CE \) в 4 раза меньше \( DE \). Обозначим \( CE = x \) см. Тогда \( DE = 4x \) см.

Приравниваем произведения отрезков:

\( AE \cdot EB = CE \cdot ED \)

\( 36 = x \cdot 4x \)

\( 36 = 4x^2 \)

Разделим обе части уравнения на 4:

\( x^2 = \frac{36}{4} \)

\( x^2 = 9 \)

Извлечём квадратный корень:

\( x = \sqrt{9} \)

\( x = 3 \text{ см} \).

Таким образом, \( CE = 3 \text{ см} \).

Теперь найдём \( DE \):

\( DE = 4x = 4 \cdot 3 \text{ см} = 12 \text{ см} \).

Проверим: \( CE \cdot DE = 3 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 36 \text{ см}^2 \). Это совпадает с произведением отрезков хорды AB.

Ответ: CE = 3 см, DE = 12 см.