Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M, причем AM:MB = 3:4, a CM:MD = 2:3. Вычислите длину отрезка AC, если BD = √2 см.

Пусть AM = 3x, MB = 4x, CM = 2y, MD = 3y. По теореме о пересекающихся хордах AM * MB = CM * MD, то есть 3x * 4x = 2y * 3y, откуда 12x^2 = 6y^2, и y = x * sqrt(2). По теореме косинусов для треугольников AMD и CMB: AD^2 = (3x)^2 + (3y)^2 - 2 * 3x * 3y * cos(M), BC^2 = (4x)^2 + (2y)^2 - 2 * 4x * 2y * cos(M). Так как угол M общий, и AD = BD = sqrt(2), то AC = 3 см.