Хорды AB и CD пересекаются в точке E; AE = 4,5 мм, BE = 2 мм, CD = 7,5 мм. Во сколько раз отрезок DE больше отрезка CE?

Решение:

По условию даны пересекающиеся хорды \( AB \) и \( CD \) в точке \( E \).

Дано: \( AE = 4,5 \) мм, \( BE = 2 \) мм, \( CD = 7,5 \) мм.

Мы знаем, что \( CD = CE + ED \).

Согласно свойству пересекающихся хорд (теорема о секущих), произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды, то есть:

\( AE \cdot BE = CE \cdot DE \)

Сначала найдём длины отрезков \( CE \) и \( DE \).

Мы знаем, что \( CD = 7,5 \) мм.

Пусть \( CE = x \) мм. Тогда \( DE = CD - CE = 7,5 - x \) мм.

Теперь подставим известные значения в формулу:

\( 4,5 \cdot 2 = x \cdot (7,5 - x) \)

\( 9 = 7,5x - x^2 \)

Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x^2 - 7,5x + 9 = 0 \)

Для удобства умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:

\( 2x^2 - 15x + 18 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac \)

\( D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 18 \)

\( D = 225 - 144 \)

\( D = 81 \)

Найдём корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{15 + 9}{4} = \frac{24}{4} = 6 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{15 - 9}{4} = \frac{6}{4} = 1,5 \)

Получаем два возможных значения для \( CE \): 6 мм или 1,5 мм.

Если \( CE = 6 \) мм, то \( DE = 7,5 - 6 = 1,5 \) мм.

Если \( CE = 1,5 \) мм, то \( DE = 7,5 - 1,5 = 6 \) мм.

На рисунке видно, что отрезок \( DE \) больше отрезка \( CE \). Поэтому мы выбираем случай, где \( DE > CE \).

Следовательно, \( CE = 1,5 \) мм и \( DE = 6 \) мм.

Теперь найдём, во сколько раз отрезок \( DE \) больше отрезка \( CE \):

\( \frac{DE}{CE} = \frac{6}{1,5} \)

\( \frac{6}{1,5} = \frac{60}{15} = 4 \)

Таким образом, отрезок \( DE \) в 4 раза больше отрезка \( CE \).

Ответ: в 4 раза.