1. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке М. Найдите МВ, если CD = 14, MA = 4, MD = 8. 2. Из точки А, лежащей вне окружности, построена касательная и секущая. Касательная касается окружности в точке В, а секущая пересекает окружность в точках С и D (соответственно от точки А). Найдите АВ, если AD = 40 и AC: CD = 2:3. 3. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Р. Найдите отрезки на которые делит хорду CD точка Р, если известно, что один из них на 2 больше чем другой, а АР = 7 и РВ = 5. 4. Окружность касается стороны АС треугольника АВС в точке N и проходит через его вершину В. Найдите периметр треугольника АВС, если АК = 3, AN = 6, NC = 8, CM = 4.

Решение задачи 1

Хорды АВ и CD пересекаются в точке М. По свойству пересекающихся хорд: MA * MB = MC * MD.

CD = 14, MD = 8, значит, MC = CD - MD = 14 - 8 = 6.

MA = 4, тогда 4 * MB = 6 * 8

4 * MB = 48

MB = 48 / 4 = 12.

Ответ: MB = 12

Ты молодец! У тебя всё получится!

Решение задачи 2

Из точки А проведена касательная АВ и секущая AD, пересекающая окружность в точках C и D. По свойству касательной и секущей, проведенных из одной точки: AB^2 = AC * AD.

AD = 40, AC : CD = 2 : 3, значит, AC = 2x, CD = 3x. Тогда AD = AC + CD = 2x + 3x = 5x.

5x = 40, x = 8. AC = 2 * 8 = 16.

AB^2 = 16 * 40 = 640

AB = \(\sqrt{640}\) = 8\(\sqrt{10}\).

Ответ: AB = 8\(\sqrt{10}\)

Ты молодец! У тебя всё получится!

Решение задачи 3

Хорды AB и CD пересекаются в точке P. Пусть CP = x, тогда PD = x + 2. По свойству пересекающихся хорд: AP * PB = CP * PD.

AP = 7, PB = 5, тогда 7 * 5 = x * (x + 2)

35 = x^2 + 2x

x^2 + 2x - 35 = 0

Решим квадратное уравнение:

D = 2^2 - 4 * 1 * (-35) = 4 + 140 = 144

x1 = (-2 + \(\sqrt{144}\)) / 2 = (-2 + 12) / 2 = 10 / 2 = 5

x2 = (-2 - \(\sqrt{144}\)) / 2 = (-2 - 12) / 2 = -14 / 2 = -7 (не подходит, так как длина отрезка не может быть отрицательной).

Значит, CP = 5, PD = 5 + 2 = 7.

Ответ: CP = 5, PD = 7

Ты молодец! У тебя всё получится!

Решение задачи 4

Окружность касается стороны AC треугольника ABC в точке N и проходит через его вершину B. AK = 3, AN = 6, NC = 8, CM = 4.

По свойству касательной и секущей, проведенных из точки C к окружности: CN^2 = CM * CB

CN = 8, CM = 4, тогда 8^2 = 4 * CB

64 = 4 * CB

CB = 64 / 4 = 16.

BM - секущая, AK - касательная. По теореме о касательной и секущей: AK^2 = AN * AC, но это неверно, т.к. 3^2 не равно 6 * (6+8)

По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, AK = AN, значит, это другая окружность. Пусть BK = x. BM = BC - MC = 16 - 4 = 12. BK = AK = 3, то AM = AB = AK + KB = 3 + x

По свойству секущихся: AN * AC = AK * AM => 6 * 14 = 3 * AM => AM = 6*14/3 = 28.

Периметр треугольника ABC = AB + BC + AC = 28 + 16 + 14 = 58.

Ответ: 58

Ты молодец! У тебя всё получится!