2. Хорды АВ и CD пересекаются в точке К, причем хорда АВ делится точкой К на отрезки, равные 10 см и 6 см. На какие отрезки точка К делит хорду CD, если CD > АВ на 3 см?

Решение:

• Пусть длина отрезков, на которые точка K делит хорду CD, равна х и у. По свойству пересекающихся хорд, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
• Длина хорды AB: 10 см + 6 см = 16 см.
• По условию, CD > AB на 3 см, значит, длина CD = 16 см + 3 см = 19 см.
• Теперь составим уравнение, используя свойство хорд: \(10 \cdot 6 = x \cdot y\), где x + y = 19 см.
• Выразим y через x: y = 19 - x. Подставим это значение в уравнение: \(60 = x(19 - x)\).
• Раскроем скобки и получим квадратное уравнение: \(x^2 - 19x + 60 = 0\).
• Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \(D = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 361 - 240 = 121\). Корень из дискриминанта равен 11.
• Найдем корни уравнения: \(x_1 = \frac{19 + 11}{2} = 15\) и \(x_2 = \frac{19 - 11}{2} = 4\).
• Если x = 15, то y = 19 - 15 = 4. Если x = 4, то y = 19 - 4 = 15.

Ответ: Точка К делит хорду CD на отрезки длиной 15 см и 4 см.